Welche Ziffer ist D in einer 12-stellige Zahl?

Question

Aufgabe:

Dies ist eine Aufgabe aus dem Känguruwettbewerb 2023:

Die 12-stellige Zahl ABB CDD CDD ABB ist das Produkt von 6 aufeinanderfolgenden natürlichen
Zahlen. Die Ziffern A, B, C und D sind aufeinanderfolgend, aber nicht unbedingt in dieser Reihenfolge.
Welche Ziffer ist D?

Problem/Ansatz:

Ich habe ein wenig geschummelt (mit Excel) und folgende Lösung erhalten:

74*75*76*77*78*79 = 200 133 133 200

Als ich die Lösung gesehen habe, wurde mir klar, dass B=0 sein muss, weil 6 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen immer die Faktoren 2 und 5 enthalten. Wenn B=0 ist, müssen die restlichen Ziffern 1, 2 und 3 sein. So weit, so gut.

Aber wie kommt man ohne Hilfsmittel darauf, dass D=3 ist?

Comments

Vielleicht hilt, dass die gesuchte 12-stellige Zahl durch 1001 = 7·11·13 teilbar ist.

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Bei sechs aufeinander folgenden Zahlen kommen drei gerade Zahlen vor, von denen mindestens eine durch 4 teilbar ist. Also muss das Produkt durch 16 teilbar sein, d.h. die aus den letzten vier Ziffern gebildete Zahl DABB muss durch 16 teilbar sein.

Du weißt bereits, dass B=0 ist. Da 100=4•25 ist, muss DA ein Vielfaches von 4 sein. Nun stehen nur die Ziffern 1, 2 und 3 zur Verfügung. Also muss A=2 sein.

Es bleiben

200 133 133 200 oder 200 311 311 200

Da die sechs Zahlen zwei Vielfache von 3 enthalten, muss das Produkt durch 9 teilbar sein. Also bilden wir die Quersumme und erhalten als gesuchte Zahl

200 133 133 200 mit D=3.

:-)

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Ich war schneller!   ;-)

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Da wir die gleiche Idee hatten, kann es ja nicht verkehrt sein.

:-)

PS

Gibt es eine Teilbarkeitsregel für 144?

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Da wir die gleiche Idee hatten, kann es ja nicht verkehrt sein.

Gibt es eine Teilbarkeitsregel für 144?

Ich kenne sogar zwei:

(1) Eine Zahl ist durch 144 teilbar, wenn sie bei Teilung durch 144 den Rest 0 lässt.

Die eigentliche Regel kennst du sicher selbst: Teilbar durch 9 und durch 16, also Quersumme bzw. vierstellige Zahl am Ende...

Answer 1

Die Ziffern A, B, C und D sind aufeinanderfolgend, aber nicht unbedingt in dieser Reihenfolge.

Da eine der Ziffern 0 ist, handelt es sich um die Ziffern 0, 1, 2 und 3.

Da unter 6 aufeinander folgenden Zahlen 3 Zahlen gerade sind und mindestens eine dieser geraden Zahlen durch 4 teilbar ist, ist das Produkt der 6 Zahlen durch 8 (und sogar durch 16) teilbar. A kann nicht ungerade sein, weil 300 und 100 nicht durch 8 teilbar sind. Also gilt außer B=0 auch A=2. Somit gilt entweder C=1 und B=3 oder C=3 und B=1.

Da unter 6 aufeinander folgenden Zahlen genau zwei Zahlen durch 3 teilbar sind ist das Produkt durch 9 teilbar.

Die Quersumme ist 2A+4B+2C+4D, also 2*2+4*0+2C+4D. Für C=3, D=1 ist das nicht durch 9 teilbar, für C=1, D=3 aber schon.

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Starke Leistung!