Quadraturformel, Knoten Gewichte

Question

Aufgabe:
Zur Approximation der bestimmten Integrale
\( I(f):=\int \limits_{-1}^{+1} f(x) \mathrm{d} x \)
bei stetiger Funktion \( f:[-1,+1] \rightarrow \mathbb{R} \) soll die Quadraturformel
\( J(f):=\alpha f(-\eta)+\beta f(\eta) \)
mit Gewichten \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) und Knoten \( \eta,-\eta \in[-1,1] \) mit \( \eta \neq 0 \) verwendet werden.

a) Bestimmen Sie die Gewichte für festes \( \eta \) derart, dass die Quadraturformel exakt ist für alle Polynome vom Grad kleinergleich 1.

c) Sei \( \eta=\frac{1}{2} \) und \( f \) zweimal stetig differenzierbar. Leiten Sie mit der Restgliedformel der Polynominterpolation eine Abschätzung
\( |I(f)-J(f)| \leq C \max _{x \in[-1,1]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \)
her, worin die Konstante \( C>0 \) möglichst klein sein soll. Die Konstante \( C \) soll als Zahlwert (Bruch) angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Zu a): Ich habe jetzt zwei Gleichungen:

(1) alpha + beta = 2

(2) -alpha*eta +beta*eta = 0

Aus (2) folgt dass alpha = beta. Wenn wir das in (1) einsetzen folgt dass alpha = beta = 1 ist.

Jetzt setze ich die Werte in (2) ein: -eta + eta = 0. Aber eta sollte nicht gleich 0 sein.

Wie bestimme ich eta?

Answer 1

Es ist doch Gleichung (2) für jedes \(\eta\) erfüllt, nicht nur für \(\eta=0\).

Die Aufgabe sagt nun: Gewichte bestimmen für festes \(\eta\).

D.h. Du sollst \(\eta\) gar nicht bestimmen, sondern es als vorgegeben ansehen und dann nur die Gewichte bestimmen. Das hast Du ja gemacht, bist also fertig mit a).

Comments

Dankeschön für deine Antwort! :)

Kannst du mir bitte Tipps zu c) geben?

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Oben gibt es nur c). Meinst Du das?

Die Restgliedformel der PI kennst Du?

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Für \( f \in C^{n+1}[a, b] \) existiert ein \( \xi \in[a, b] \) mit

\( f(x)-p(x)=\omega_{n+1}(x) \frac{D^{n+1} f(\xi)}{(n+1) !}, \)
wobei \( a:=\min \left(x_{0}, \ldots, x_{n}, x\right) \) und \( b:=\max \left(x_{0}, \ldots, x_{n}, x\right) \). Die Zwischenstelle \( \xi \) hängt von \( x \) ab.

Das?

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Ja, genau die. Wir brauchen die gleich für n=1.

Hier eine Anleitung für die Schritte zur Lösung. Schau mal, ob Du durchkommst.

Sei \(f\in C^2([-1,1])\). Zur einfacheren Schreibweise setzen wir \(f_1:=f(-0.5), f_2:=f(0.5)\).

1. Berechne das Interpolationspolynom \(p\) vom Grad 1 zu den Knoten \((-0.5,f_1)\) und \((0.5,f_2)\). Darin kommt auch der Term \(J(f)=f_1+f_2\) vor (unsere Quadraturformel).

2. Berechne damit \(\int\limits_{-1}^1 p(x)dx\). Zur Kontrolle: Das wird \(J(f)\).

3. Wir wissen nun \(|I(f)-J(f)| \le \int\limits_{-1}^1 |f(x)-p(x)| dx\). Verwende nun unter dem Integral den Interpolationsfehler (s.o.), schätze \(f''\) gegen sein Maximum ab und rechne den Rest konkret aus, dieser Rest wird das \(C\) (zur Kontrolle: \(C=\frac1{12}\)).

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Ich bin immer noch beim Schritt 1). Wie lautet die Formel vom Interpolationspolynom?

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Das IP vom Grad 1 durch zwei Punkte ist nichts anderes als die Geradengleichung durch diese Punkte.

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Für die Punkte \( \left(-0.5, f_{1}\right) \) und \( \left(0.5, f_{2}\right) \) haben wir:

\( x_1 = -0.5 \) und \( y_1 = f_{1} \)
\( x_2 = 0.5 \) und \( y_2 = f_{2} \)

Die Steigung \( m \) der Geraden zwischen den Punkten ist:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f_{2} - f_{1}}{0.5 - (-0.5)} = \frac{f_{2} - f_{1}}{1} = f_{2} - f_{1} \)

Der y-Achsenabschnitt \( b \) ist:

\( b = y_1 - m \cdot x_1 = f_{1} - (f_{2} - f_{1}) \cdot (-0.5) = f_{1} + 0.5(f_{2} - f_{1}) = 0.5f_{1} + 0.5f_{2} \)

Das Interpolationspolynom \( p(x) \) lautet also:

\( p(x) = mx + b = (f_{2} - f_{1}) \cdot x + (0.5f_{1} + 0.5f_{2}) \)

So?

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Ja genau.....

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\[ |I(f) - J(f)| \leq \int \limits_{-1}^{1} |f(x) - p(x)| \, dx \]

Nun verwenden wir die Restgliedformel der Polynominterpolation für \( n = 1 \):
\[ f(x) - p(x) = \omega_{2}(x) \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!} \]

Für \( n = 1 \) ist \( \omega_{2}(x) = (x - (-0.5))(x - 0.5) = (x + 0.5)(x - 0.5) \).

Schätzen wir \( |f^{\prime \prime}(\xi)| \) ab, indem wir \( f^{\prime \prime}(x) \) maximieren:
\[ |f^{\prime \prime}(\xi)| \leq \max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)| \]

Nun berechnen wir den Rest:
\[ \int \limits_{-1}^{1} |f(x) - p(x)| \, dx \leq \int \limits_{-1}^{1} |(x + 0.5)(x - 0.5)| \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{2!} \, dx \]
\[ = \int \limits_{-1}^{1} |(x^2 - 0.25)| \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{2} \, dx \]
\[ = \int \limits_{-1}^{1} (x^2 - 0.25) \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{2} \, dx \]
\[ = \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{2} \left(\frac{x^3}{3} - 0.25x\right) \Big|_{-1}^{1} \]
\[ = \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right)\right) \]
\[ = \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{4} \]

Setzen wir die obige Abschätzung in die ursprüngliche Ungleichung ein:
\[ |I(f) - J(f)| \leq \frac{\max_{x \in [-1,1]} |f^{\prime \prime}(x)|}{4} \]

Die Konstante \( C \) ist also \( \frac{1}{4} \).

Die Abschätzung für \( C \) sollte \( \frac{1}{4} \) sein.




falsch?

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Schritt 2 fehlt, hast Du hoffentlich trotzdem gemacht?!

Sonst richtig, bis auf Fehler beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion.

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Wenn das richtig ist, wieso brauche ich dann Schritt 1 und 2 ? Ich kann die 1/4 bekommen auch wenn ich Schritt 1 und 2 nicht mache

Sollte C 1/4 oder 1/12 sein? Wenn 1/2, wie hast du das bekommen?

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Woher weißt du denn, dass das Integral von p gerade J(f) ergibt? Wenn du das irgendwoher weißt, dann brauchst du Schritt 1 und 2 nicht.

Zum C: setze richtig ein, insb. mit Klammern bei \((-1)^3\).

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Kann ich zu 1) so machen?

Das Interpolationspolynom \( p \) vom Grad 1 zu den Knoten \( \left(-0.5, f_{1}\right) \) und \( \left(0.5, f_{2}\right) \) lautet:

\[ p(x) = f_{1} + \frac{f_{2} - f_{1}}{0.5 - (-0.5)} \cdot (x - (-0.5)) \]

\[ p(x) = f_{1} + \frac{f_{2} - f_{1}}{1} \cdot (x + 0.5) \]

\[ p(x) = f_{1} + (f_{2} - f_{1}) \cdot (x + 0.5) \]

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Ja, aber das hatten wir doch schon. Jetzt hast Du es nochmal berechnet. Aber Übung kann nicht schaden ;-)

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Für das Integral

\( I(f):=\int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \)
einer hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) ist die Quadraturformel
\( J(f):=\frac{1}{2} \cdot f\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2} \cdot f\left(\frac{2}{3}\right) \)
exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 1. Leiten Sie mit der Restgliedformel der Polynominterpolation eine möglichst kleine obere Schranke für den Fehler \( |I(f)-J(f)| \) her.

Ich kann diese Aufgabe ähnlich lösen oder?

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Ja, auch hier ist wieder \(\int\limits_0^1 p(x)dx = J(f)\). Ist genau dasselbe, nur mit anderen Zahlen.

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C ist dann gleich 1/36 oder?

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C von welcher Aufgabe? Bei der Originalaufgabe bleibe ich bei 1/12.

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Für das Integral

I(f) : =∫01f(x)dxI(f) : =0∫1f(x)dx
einer hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktion f : [0,1]→Rf : [0,1]→R ist die Quadraturformel
J(f) : =12⋅f(13)+12⋅f(23)J(f) : =21⋅f(31)+21⋅f(32)
exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 1. Leiten Sie mit der Restgliedformel der Polynominterpolation eine möglichst kleine obere Schranke für den Fehler ∣I(f)−J(f)∣∣I(f)−J(f)∣ her.

Ich meinte davon

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1/36 sollte stimmen.

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Um zu üben, möchte ich noch diese Aufgabe machen:

Das Integral
\( I(f):=\int \limits_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x \)
einer hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktion \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) soll durch eine Quadraturformel
\( J(f):=g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} f(0)+g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right) \)
approximiert werden.
a)Leiten Sie für \( f \in C^{3}[-1,1] \) mit Hilfe der Restgliedformel der Polynominterpolation eine möglichste kleine obere Schranke für den Fehler
\( |I(f)-J(f)| \)
her.

Ich frage mich jetzt wie die Formel von dem Interpolationspolynom aussehen sollte... Für Grad 1 habe ich diese Formel verwendet: p(x)=f_1+((f_2−f_1)/(x_2−x_1))⋅(x−x_1)

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Geht auch genauso, aber nun hat das IP Grad 2, also eine Parabel durch 3 Knoten. Dafür kannst Du die Darstellung der Lagrange-IP benutzen, oder die aus dem Newton-Schema. Oder Dir selbst was basteln (3 Gleichungen, 3 Unbekannte). Ist egal, da das IP ja eindeutig ist.

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Könnte das zum Beispiel so aussehen? : p(x)=f_1+((f_2−f_1)/(x_2−x_1))⋅(x−x_1) + f_2+((f_3−f_2)/(x_3−x_2))⋅(x−x_2)

Ich möchte versuchen die gleiche Formel p(x)=f_1+((f_2−f_1)/(x_2−x_1))⋅(x−x_1) zu verwenden aber für Grad 2...

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Nein. Da hast Du einfach zwei Polynome vom Grad 1 addiert. Das ergibt noch nichtmal Grad 2. Schau die Formeln nach, und setze gleich die Werte ein.

Oder rechne es direkt mit wolframalpha aus (auch gut zur Kontrolle).

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Das Interpolationspolynom \(p(x)\) vom Grad 2 für die Quadraturformel mit den Stützstellen \(-\frac{2}{3}\), \(0\) und \(\frac{2}{3}\) lautet:

\[ p(x) = f\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{(x-0)(x-\frac{2}{3})}{(-\frac{2}{3}-0)(-\frac{2}{3}-\frac{2}{3})} + f(0) \cdot \frac{(x-(-\frac{2}{3}))(x-\frac{2}{3})}{(0-(-\frac{2}{3}))(0-\frac{2}{3})} + f\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{(x-(-\frac{2}{3}))(x-0)}{(\frac{2}{3}-(-\frac{2}{3}))(\frac{2}{3}-0)} \]

\[ p(x) = f\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{x(x-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}} + f(0) \cdot \frac{(x+\frac{2}{3})(x-\frac{2}{3})}{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}} + f\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{(x+\frac{2}{3})x}{\frac{4}{3}} \]

\[ p(x) = f\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)x(x-\frac{2}{3}) + f(0) \cdot \left(\frac{9}{4}\right)(x^2-\frac{4}{9}) + f\left(\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{3}{4}x(x+\frac{2}{3}) \]

\[ p(x) = -\frac{3}{4}f\left(-\frac{2}{3}\right) x^2 + \frac{5}{6}f\left(-\frac{2}{3}\right) x + \frac{9}{4}f(0) x^2 - \frac{4}{3}f(0) + \frac{3}{4}f\left(\frac{2}{3}\right) x^2 + \frac{5}{6}f\left(\frac{2}{3}\right) x \]

\[ p(x) = \left(-\frac{3}{4}f\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{9}{4}f(0) + \frac{3}{4}f\left(\frac{2}{3}\right)\right)x^2 + \left(\frac{5}{6}f\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{5}{6}f\left(\frac{2}{3}\right)\right)x - \frac{4}{3}f(0) \]

Somit ist das Interpolationspolynom \(p(x)\) vom Grad 2 gegeben durch:

\[ p(x) = \left(-\frac{3}{4}f\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{9}{4}f(0) + \frac{3}{4}f\left(\frac{2}{3}\right)\right)x^2 + \left(\frac{5}{6}f\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{5}{6}f\left(\frac{2}{3}\right)\right)x - \frac{4}{3}f(0) \]

Da habe ich Lagrange-IP benutzt. Richtig?

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Der Ansatz ist richtig, aber prüfe das bitte selbst (Probe durch Einsetzen der drei x-Werte).

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Schon erledigt danke :)

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Ich habe eine Aufgabe dazu

Das Integral
  \(   I(f):=\int \limits_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x   \)
  einer hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktion \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) soll durch eine Quadraturformel
  \(   J(f):=g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} f(0)+g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right)   \)
  approximiert werden.

und zwar
Transformieren Sie die Quadraturformel so, dass Integrale von Funktionen auf beliebigen Intervallen \( [a, b] \) approximiert werden können. Geben Sie die zugehörigen Knoten und Gewichte in Abhängigkeit von den Intervallgrenzen \( a, b \) an.


Weißt du, wie ich das machen kann?

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Das geht über die Substitutionsregel. Wir haben \(g:[a,b]\longrightarrow \R\). Die Transformation \(x=\frac{b-a}2u+\frac{b+a}2\) transformiert \([-1,1]\) auf \([a,b]\) (Stichwort: Geradengleichung, oder Interpolation vom Grad 1). Dann ist

\(\int\limits_a^b g(x)dx =\frac{b-a}2\int\limits_{-1}^1 f(u) du\)

und auf der rechten Seite kann die vorgegebene Quadraturformel angewendet werden um die transformierte zu erhalten.

Solche Transformationen benötigt man auch in anderen Anwendungen, sollte man verstanden haben, auch die Herleitung (weil es ja nicht immer um \([-1,1]\) geht, sondern auch mal um andere Intervalle).

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Sei (x) der Integrationsvariable im Intervall ([-1, 1]) und (t) die Variable im Zielintervall ([a, b]). Die Substitution ist wie folgt definiert:

[ t = \frac{b-a}{2}x + \frac{b+a}{2} ]

Umgekehrt ergibt sich:

[ x = \frac{2}{b-a}(t - \frac{b+a}{2}) ]

Jetzt ersetzen wir (x) in der Quadraturformel (J(f)) durch den Ausdruck für (x) in Abhängigkeit von (t):

[ J(f) = g_{0}f\left(-\frac{2}{3}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{2}{3}\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{2}{b-a}(-\frac{b+a}{2})\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{2}{b-a}(\frac{b+a}{2})\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{b-a}{2}(-\frac{1}{3}) + \frac{b+a}{2}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{b-a}{2}(\frac{1}{3}) + \frac{b+a}{2}\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{-b-a}{3} + \frac{b+a}{2}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{b-a}{3} + \frac{b+a}{2}\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{b-a-3b-3a}{3} + \frac{2b+2a}{2}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{b-a+3b+3a}{3} + \frac{2b+2a}{2}\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{-2b-2a}{3} + \frac{2b+2a}{2}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{2b+2a}{3} + \frac{2b+2a}{2}\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(-\frac{2}{3}b-\frac{2}{3}a + b+a\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}a + b+a\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{b-a}{3} + \frac{3b+3a}{3}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{b+a}{3} + \frac{3b+3a}{3}\right) ]

[ J(f) = g_{0}f\left(\frac{4b+2a}{3}\right) + g_{1}f(0) + g_{2}f\left(\frac{2b+4a}{3}\right) ]

Richtig so ?

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Korrigier mal den LaTeX-Fehler, wenn man das lesen soll.

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t = \( \frac{b-a}{2} x +\) \( \frac{b+a}{2} \)

\( x=\frac{2}{b-a}\left(t-\frac{b+a}{2}\right) \)

Für \( t=-\frac{2}{3} \) :

\( x=\frac{2}{b-a}\left(-\frac{2}{3}-\frac{b+a}{2}\right) \)

\( \begin{array}{l} x=\frac{2}{b-a}\left(-\frac{2}{3}-\frac{2 b+2 a}{2}\right) \\ x=\frac{2}{b-a}\left(-\frac{2}{3}-\frac{b+a}{2}\right) \\ x=-\frac{4}{3(b-a)}-\frac{b+a}{b-a} \\ x=-\frac{4+b+a}{3(b-a)} \end{array} \)
Für \( t=\frac{2}{3} \) :
\( x=\frac{2}{b-a}\left(\frac{2}{3}-\frac{b+a}{2}\right) \)

\( \begin{array}{l} x=\frac{2}{b-a}\left(\frac{2}{3}-\frac{2 b+2 a}{2}\right) \\ x=\frac{2}{b-a}\left(\frac{2}{3}-\frac{b+a}{2}\right) \\ x=\frac{4}{3(b-a)}-\frac{b+a}{b-a} \\ x=\frac{4-b-a}{3(b-a)} \end{array} \)

in \( J(f) \) einsetzen:

\( J(f)=g_{0} f\left(-\frac{4+b+a}{3(b-a)}\right)+g_{1} f(0)+g_{2} f\left(\frac{4-b-a}{3(b-a)}\right) \)

Knoten:
\( t_{0}=-\frac{2}{3}, \quad t_{1}=0, \quad t_{2}=\frac{2}{3} \)
Gewichte:
\( g_{0}, \quad g_{1}, \quad g_{2} \)

Richtig so?

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Knoten 0 geht nicht auf Knoten 0, außerdem hast Du in die falsche Formel eingesetzt und die Gewichte ändern sich.
Siehe meinen Kommentar oben: \(\int\limits_a^b g(x)dx =....\), da auf der rechten Seite die Formel für \([-1,1]\) einsetzen. Du musst nur auf der rechten Seite weiterschreiben und einsetzen, dann kann nichts passieren.

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Es reicht, wenn Du Dein Ergebnis nennst.

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muss ich jetzt das Integral von u + \( \frac{b+a}{2} \) rechnen ?

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??? Also nochmal: \(\int\limits_a^b g(x)dx = \frac{b-a}2\int\limits_{-1}^1 f(u)du \approx \frac{b-a}2J(f) =...\). Und dann J(f) einsetzen und über den Zusammenhang zwischen \(f\) und \(g\) wieder umschreiben auf \(g\).

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ehrlich gesagt ich weiß nicht was f(u) ist..

J(f) aber ohne die Gewichte?

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Ich hab Dir doch den nächsten Schritt schon hingeschrieben (rechte Seite), da kommt gar kein \(u\) mehr drin vor. Der folgende Schritt ist eine reine Schreibübung, da \(J(f)\) in der Aufgabe steht.

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\( \int \limits_{a}^{b} g(x) d x=\frac{b-a}{2} \int \limits_{-1}^{1} f(u) d u \approx \frac{b-a}{2} J(f)=\frac{b-a}{2}\left(g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} f(0)+g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right)\right) \)

So? Wenn ja, muss ich jetzt nach g0, g1 und g2 lösen?

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Ja, aber mit den Gewichten haben wir nichts zu tun, die sind doch nicht gefragt. Laut Aufgabe soll nur die Formel umgeschrieben werden. Aufgrund unserer Transformation (immer im Kopf halten:

\(f:[-1,1]\longrightarrow \R,\; g:[a,b]\longrightarrow \R\))

ist (s.o.)

\(f(u)=g(\frac{b-a}2u+\frac{b+a}2)\).

Oder, wenn's Dir lieber ist: \(f(z)=g(\frac{b-a}2z+\frac{b+a}2)\) oder \(f(\alpha)=g(\frac{b-a}2\alpha+\frac{b+a}2)\) oder \(f(t)=g(\frac{b-a}2t+\frac{b+a}2)\), es geht ja nur um die Funktionsvorschrift.

Einsetzen, in die Gleichungskette einbauen, fertig.

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Aber in der Aufgabenstellung steht, dass ich die zugehörigen Knoten und Gewichte in Abhängigkeit von den Intervallgrenzen \( a, b \) angebe

Ich habe noch eine Frage.. Wieso haben wir \(\frac{b-a}{2}\) vor dem Integral geschrieben? wie kommst du darauf?

\( \int \limits_{a}^{b} g(x) d x=\frac{b-a}{2} \int \limits_{-1}^{1} f(u) d u \)

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1. In der Aufgabe sind die Gewichte \(g_i\) nicht angegeben, dann kann man natürlich die Gewichte der transformierten Formel auch nicht angeben (nur deren Abhängigkeit von den \(g_i\)).

2. Substitutionsregel

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Gegeben ist die Transformation \( x = \frac{b-a}{2} u + \frac{b+a}{2} \), die das Intervall \( [-1,1] \) auf \( [a, b] \) transformiert.
Wir wollen das Integral \( \int \limits_{a}^{b} g(x) \, dx \) approximieren. Mit der Substitutionsregel haben wir:
\(\int \limits_{a}^{b} g(x) d x=\int \limits_{-1}^{1} f(u) \cdot \frac{b-a}{2} d u\)

Nun wenden wir die vorgegebene Quadraturformel \( J(f)=g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} f(0)+ \) \( g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right) \) auf die rechte Seite an:
\(\int \limits_{a}^{b} g(x) d x=\int \limits_{-1}^{1} f(u) \cdot \frac{b-a}{2} d u \approx \frac{b-a}{2} J(f)\).

Damit gilt \( f(u) = g\left(\frac{b-a}{2} u + \frac{b+a}{2}\right) \).

Reicht das als Lösung oder fehlt irgenwas?

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Du sollst natürlich \(J(g)\) angeben, mit Knoten und Gewichten, also auf der rechten Seite weiterrechnen (wie, hab ich oben schon gesagt).

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\(\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \approx \frac{b-a}{2} J(g)\)

Damit haben wir die transformierte Quadraturformel:
\(\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \approx \frac{b-a}{2}\left(g_{0} g\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} g(0)+g_{2} g\left(\frac{2}{3}\right)\right)\)

= \(\left(g_{0} g\left(\frac{b+5a}{6}\right)+g_{1} g(\frac{b+a}{2})+g_{2} g\left(\frac{5b+a}{6}\right)\right)\)

 \( \begin{array}{l}u_{0}=\frac{b-a}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{b+a}{2}=\frac{b+5a}{6} \\ u_{1}=\frac{b-a}{2} \cdot 0+\frac{b+a}{2}=\frac{b+a}{2} \\ u_{2}=\frac{b-a}{2} \cdot \frac{2}{3}+\frac{b+a}{2}=\frac{5b+a}{6}\end{array} \)

Richtig so?

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Nein. Vorher sagtest Du "reicht das als Lösung?" und ich hab gesagt, nein, Du sollst da weiterrechnen (bis dahin war es richtig).

Tust Du jetzt aber nicht, sondern fängst neu an und schreibst gleich falsch ab (indem Du statt \(f\) plötzlich \(g\) schreibst. Bei einer Aufgabe, bei der die Schwierigkeit ist, die Rollen von \(f\) und \(g\) auseinanderzuhalten, ist das fatal. Vor 2 Std. sagte ich "Immer im Kopf halten....", das hilft enorm. Und das richtige Abschreiben.

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Du hast J(g) geschrieben deswegen dachte ich mir dass ich g statt f schreiben soll…

Du sollst natürlich \(J(g)\) angeben, mit Knoten und Gewichten

Wie meinst du das ?

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Das zieht sich hier sehr lange hin. Ich möchte nicht alles mehrmals sagen.

Du warst bis \(\frac{b-a}2J(f)\) gekommen, auf richtigem Weg. Da rechne einfach weiter, bis Du eine Quadraturformel für \(g\) gefunden hast.

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\( \int \limits_{a}^{b} g(x) d x \approx \frac{b-a}{2}\left(g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} f(0)+g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right)\right) \)

 = \(\left(\frac{b-a}{2}g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{b-a}{2}g_{1} f(0)+\frac{b-a}{2}g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right)\right) \)

richtig so?...

sorry wenn ich dich nerve...

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Schon sehr gut. Der Zwischenschritt aus Deinem vorherigen Versuch darf beim Aufschreiben aber nicht fehlen.

Soweit also richtig, nur suchen wir eine QF für \(g\) und nicht für \(f\). Die Gewichte sind ok, aber an den Knoten ändert sich dann natürlich was. Die hattest Du eben auch schon ausgerechnet (\(u_0, u_1, u_2\) und kannst sie nun verwenden.

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\( \begin{array}{l}\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \approx \frac{b-a}{2}\left(g_{0} g\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} g(0)+g_{2} g\left(\frac{2}{3}\right)\right) \\ =\left(\frac{b-a}{2} g_{0} g\left(\frac{b+5a}{6}\right)+\frac{b-a}{2} g_{1} g(\frac{b+a}{2})+\frac{b-a}{2} g_{2} g\left(\frac{5b+a}{6}\right)\right)\end{array} \)

\( \begin{array}{l} \\ u_{0}=\frac{b-a}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{b+a}{2}=\frac{b+5 a}{6} \\ u_{1}=\frac{b-a}{2} \cdot 0+\frac{b+a}{2}=\frac{b+a}{2} \\ u_{2}=\frac{b-a}{2} \cdot \frac{2}{3}+\frac{b+a}{2}=\frac{5 b+a}{6}\end{array} \)

Jetzt sollte alles richtig sein oder? :))

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Du hast wieder falsch abgeschrieben. Daher Fehler in der ersten Zeile (was nur Abschreiben gewesen wäre...).

Zur vollständigen Lösung fehlen noch die Zwischenschritte in der ersten Gleichung.

Endergebnis stimmt aber.

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Falsch in der ersten Gleichung weil ich g statt f geschrieben habe oder?

\( \begin{array}{l}\int \limits_{a}^{b} g(x) d x \approx \frac{b-a}{2}\left(g_{0} f\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} g(0)+g_{2} f\left(\frac{2}{3}\right)\right)  \\ = \frac{b-a}{2}\left(g_{0} g\left(-\frac{2}{3}\right)+g_{1} f(0)+g_{2} g\left(\frac{2}{3}\right)\right) =\left(\frac{b-a}{2} g_{0} g\left(\frac{b+5 a}{6}\right)+\frac{b-a}{2} g_{1} g\left(\frac{b+a}{2}\right)+\frac{b-a}{2} g_{2} g\left(\frac{5 b+a}{6}\right)\right) \\ u_{0}=\frac{b-a}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{b+a}{2}=\frac{b+5 a}{6} \\ u_{1}=\frac{b-a}{2} \cdot 0+\frac{b+a}{2}=\frac{b+a}{2} \\ u_{2}=\frac{b-a}{2} \cdot \frac{2}{3}+\frac{b+a}{2}=\frac{5 b+a}{6}\end{array} \)

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Ich weiß wirklich nicht mehr, was ich sagen soll. Die erste Zeile stimmt nun, dafür der Anfang der zweiten nicht. Du scheinst nach Belieben \(f\) und \(g\) rumzutauschen. Weißt Du wirklich was Du tust? Nochmal der Tipp von vor ein paar Stunden "immer im Kopf behalten...:". Mit "immer" meine ich übrigens "immer", d.h. bei jeder Umformung.

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Ah ok ich weiß jetzt.. Ich habe das jetzt gemacht, was du gesagt hast :D

Danke für deine tolle Hilfe :))

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Darf ich noch eine letzte Frage zum Thema stellen?...

Zur Approximation der gewichteten Integrale
\( I(f):=\int \limits_{-1}^{+1}(|x|+1) \cdot f(x) \mathrm{d} x \)
bei stetiger Funktion \( f:[-1,+1] \rightarrow \mathbb{R} \) soll die Quadraturformel
\( J(f):=\alpha\left(f\left(-x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right) \)
mit Knoten \( -x_{1}, x_{1}, x_{2} \in[-1.1] \) wobei \( x_{1}>0 \) und einem Gewicht \( \alpha \in \mathbb{R} \) verwendet werden.

b) Sei eine Quadraturformel \( \tilde{J}(f):=\tilde{\alpha}_{1} f\left(\tilde{x}_{1}\right)+\tilde{\alpha}_{2} f\left(\tilde{x}_{2}\right)+\tilde{\alpha}_{3} f\left(\tilde{x}_{3}\right) \) mit neuen Knoten und Gewichten fuir das obige Integral \( I(f) \) gegeben. Zeigen Sie, dass \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein kann.

Wie kann ich zeigen, dass \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein kann?

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Wenn mir was einfällt, sag ich's. Kannst sonst aber auch ne neue Frage stellen.

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Ja sag mir dann Bescheid bitte, es ist wichtig...

Ich habe eine neue Frage gestellt vielleicht könntest du mir dabei helfen

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Kannst du mir bitte dabei helfen? : https://www.mathelounge.de/1027480/nichtlineare-gleichungen-das-gewohnliche-newton-verfahren#c1027576

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Ich habe sowohl für Deine letzte obige Quadraturfrage als auch für die Newton-Frage einige Ansätze probiert. Wenn ich etwas vorzeigbares dazu habe, wirst Du es erfahren.

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Dankeschön! :)

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Ich kann Dir dazu aktuell nur sagen, dass das Gleichungssystem, das erfüllt sein müsste für Exaktheit für alle Polynome vom Grad \(\le 6\) (das ja 7 Gleichungen mit 6 Unbekannten hat) nicht lösbar ist (laut wolframalpha). Das muss man halt nachweisen, irgendwie...

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Ist dir was für die andere Frage eingefallen?

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Da solltest Du, bevor Du hier fragst, bei der anderen Frage nachschauen. Danke.

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Ich kann Dir dazu aktuell nur sagen, dass das Gleichungssystem, das erfüllt sein müsste für Exaktheit für alle Polynome vom Grad \(\le 6\) (das ja 7 Gleichungen mit 6 Unbekannten hat) nicht lösbar ist (laut wolframalpha). Das muss man halt nachweisen, irgendwie...

Meine Lösung :

Um zu zeigen, dass die Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein kann, müssen wir ein Polynom \( p(x) \) mit Grad höchstens 6 finden, für das die Quadraturformel \( \tilde{J}(p) \) nicht den exakten Wert des Integrals \( I(p) \) liefert.

Die Quadraturformel \( \tilde{J}(f) \) lautet:

\[\tilde{J}(f) = \tilde{\alpha}_{1} f(\tilde{x}_{1}) + \tilde{\alpha}_{2} f(\tilde{x}_{2}) + \tilde{\alpha}_{3} f(\tilde{x}_{3})\]

Angenommen, die Quadraturformel \( \tilde{J} \) wäre exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6. Dann wäre \( \tilde{J}(p) \) für jedes solche Polynom \( p(x) \) gleich dem exakten Wert des Integrals \( I(p) \):

$$ \tilde{J}(p) = I(p) \quad \text{für alle Polynome } p(x) \text{ mit Grad höchstens 6} $$

Wir wählen nun ein spezielles Polynom \( p(x) \) mit Grad höchstens 6 aus, für das das Integral \( I(p) \) einfach berechenbar ist. Ein einfaches Beispiel dafür ist das Polynom \( p(x) = x^6 \). Nun berechnen wir das Integral \( I(p) \):

$$ I(p) = \int_{-1}^{+1} (|x| + 1) \cdot x^6 \, dx $$

Zur Berechnung des Integrals betrachten wir den Integranden \( (|x| + 1) \cdot x^6 \) für \( x \in [-1, 0] \) und \( x \in [0, 1] \) separat:

Für \( x \in [-1, 0] \) ist \( |x| = -x \), also:

$$ (|x| + 1) \cdot x^6 = (-x + 1) \cdot x^6 = -x^7 + x^6 $$

Für \( x \in [0, 1] \) ist \( |x| = x \), also:

$$ (|x| + 1) \cdot x^6 = (x + 1) \cdot x^6 = x^7 + x^6 $$

Jetzt berechnen wir das Integral \( I(p) \) für beide Intervalle und addieren die Ergebnisse:

$$ I(p) = \int_{-1}^{0} (-x^7 + x^6) \, dx + \int_{0}^{1} (x^7 + x^6) \, dx $$

Die Integration ergibt:

$$ I(p) = \left[ -\frac{1}{8}x^8 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{-1}^0 + \left[ \frac{1}{8}x^8 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{0}^1 $$

$$ I(p) = \left( -\frac{1}{8}(0)^8 + \frac{1}{7}(0)^7 \right) - \left( -\frac{1}{8}(-1)^8 + \frac{1}{7}(-1)^7 \right) + \left( \frac{1}{8}(1)^8 + \frac{1}{7}(1)^7 \right) - \left( \frac{1}{8}(0)^8 + \frac{1}{7}(0)^7 \right) $$

$$ I(p) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} $$

Nun betrachten wir die Quadraturformel \( \tilde{J} \) mit den neuen Knoten und Gewichten und berechnen \( \tilde{J}(p) \):

$$ \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{1} p(\tilde{x}_{1}) + \tilde{\alpha}_{2} p(\tilde{x}_{2}) + \tilde{\alpha}_{3} p(\tilde{x}_{3}) $$

Da \( p(x) = x^6 \), haben wir:

$$ \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{1} \tilde{x}_{1}^6 + \tilde{\alpha}_{2} \tilde{x}_{2}^6 + \tilde{\alpha}_{3} \tilde{x}_{3}^6 $$

Angenommen, die Quadraturformel \( \tilde{J} \) wäre exakt für \( p(x) = x^6 \), dann müsste \( \tilde{J}(p) \) den gleichen Wert wie \( I(p) \) haben:

$$ \tilde{J}(p) = I(p) = \frac{1}{4} $$

Jetzt wählen wir jedoch spezielle Knoten und Gewichte für \( \tilde{J} \), so dass das Integral \( I(p) \) mit der Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt berechnet werden kann. Zum Beispiel könnten wir die Knoten so wählen, dass \( \tilde{x}_{1} = 0 \) und \( \tilde{x}_{2} = \tilde{x}_{3} = 1 \) sind. Dadurch würde sich die Quadraturformel zu \( \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{2} + \tilde{\alpha}_{3} \) reduzieren. Um das Integral \( I(p) \) genau zu berechnen, müsste jedoch der Term \( \tilde{\alpha}_{1} \) im Ergebnis auftauchen, was hier nicht der Fall ist.

Da wir die Wahl der Knoten und Gewichte in der Quadraturformel \( \tilde{J} \) frei haben, können wir sie so wählen, dass sie nicht exakt für das spezielle Polynom \( p(x) = x^6 \) ist. Daher kann die Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein.

meinst du, ist das richtig?

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Nein. Was eine lange Rechnung für I(p) mit p(x)=x^6. I(p) für diesen Fall ist übrigens I(p)=15/28. Kannst Du mit Internettools leicht ausrechnen.

Hast Du überhaupt verstanden worum es geht? Hast Du meine Bemerkung oben überhaupt verstanden? Auch wenn es keine Lösung ist, solltest Du es verstehen.
Es geht nicht darum, dass man irgendwelche Gewichte/Knoten finden kann, so dass die Formel nicht exakt ist. Das ist keine Kunst.

Bevor Du nicht verstehst, worum es geht, machen Lösungsversuche keinen Sinn.

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Hast Du meine Bemerkung oben überhaupt verstanden? Auch wenn es keine Lösung ist, solltest Du es verstehen.

Ich habe das so gelöst, bevor ich deine Bemerkung gesehen habe. Ich wollte nur zeigen, was ich gemacht habe