Lösung eines Maximierungsproblem mit dem Lagrange-Ansatz

Question

Es geht um ein Maximierungsproblem, für das ich den Lagrange-Ansatz verwenden soll.

Max! U(c0,c1)=√c0 + √c1

unter der Nebenbedingung: c0 + c1/(1,1)=120

Die Grenzrate der Substitution ist gegeben durch 1,1, wie dies zustande kommt ist mir allerdings auch nicht klar.

Die Lösung der Aufgabe habe ich bereits, allerdings verstehe ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt.

Der Prof. hat leider einfach nur das Ergebnis hingeschrieben, ohne es weiter zu erklären und nun stehe ich auf dem Schlauch.

Ich würde mich sehr über eine ausführliche Erklärung der Rechnung und Lösung dieser Aufgabe freuen! Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

maximiert werden soll die Funktion $$U(c_0,c_1) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1} \to \max$$unter der Nebenbedingung $$c_0 + \frac{10}{11}c_1 - 120 = 0$$Dazu stellt man zunächst die Lagrange-Funktion auf:$$L(c_0,c_1,\lambda) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1}  + \lambda\left(c_0 + \frac{10}{11}c_1 - 120\right)$$Und leitet nach den beiden Parametern \(c_0\) und \(c_1\) ab, was das gleiche ist, wie die Berechnung des Gradienten $$\operatorname{grad}L = \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{c_0}} \\\frac{1}{2\sqrt{c_1}} \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1\\\frac{10}{11} \end{pmatrix} = \vec{0}$$Diese Gleichung geht nur auf, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Daraus folgt:$$\begin{aligned} \frac{10}{11}\cdot \frac{1}{2\sqrt{c_0}} &= \frac{1}{2\sqrt{c_1}} \\ \frac{11}{10} \sqrt{c_0} &= \sqrt{c_1}\\ c_1&= \left(\frac{11}{10}\right)^2c_0 \end{aligned}$$Einsetzen in die Nebenbedingung gibt:$$\begin{aligned} \implies c_0 + \frac{10}{11}\cdot\left(\frac{11}{10}\right)^2c_0&= 120\\ c_0 + \frac{11}{10} c_0 &= 120 \\ \frac{21}{10} c_0 &= 120 \\ c_0&= \frac{120 \cdot 10}{21} = \frac{400}{7}\\ \implies c_1 &=  \frac{11^2 \cdot 400}{10^2 \cdot 7} = \frac{484}{7}\\ \end{aligned}$$Hier habe ich versucht Dir das graphisch zu veranschaulichen:

https://www.desmos.com/calculator/27a24gucrb

Auf der Abszisse liegt \(c_0\) (waagerecht) und auf der Ordinate \(c_1\) (senkrecht). Den Graphen der Nebenbedingung habe ich rot eingezeichnet. Die blauen Linen sind Höhenlinien der Funktion \(U\). D.h. Jede blaue Linie gibt den Ort aller Punkte an, auf denen \(U\) immer den gleichen Wert annimmt. \(U\) wächst nach oben rechts.

Im Punkt \(P\) wird jeweils der Gradient von \(U\) (blau) und der der Nebenbedingung (rot) angezeigt. Dort wo beide zusammen fallen, also linear abhängig sind, habe ich die grün gestrichelte Gerade eingezeichnet. Dies ist der Graph der Funktion$$c_1= \left(\frac{11}{10}\right)^2c_0$$(s.o.). Ziehe bitte mit der Maus den Punkt \(P\) auf diese Gerade.

Wo diese den Graphen der Nebenbedingung schneidet liegt das gesuchte Optimum.

Gruß Werner

Comments

Graphik hinzu gefügt.

Answer 2

\(Maximiere\):  \(U(c_0,c_1) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1} \)      \(NB\): \( c_0 + \frac{c_1}{1,1}=120  \)

\(U(c_1) = \sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}} + \sqrt{c_1} \) 

\(\frac{d U(c_1)}{d c_1} =\frac{-\frac{1}{1,1}}{2\sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}}}+ \frac{1}{2\sqrt{c_1} } \)

\(\frac{-\frac{1}{1,1}}{2\sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}}}+ \frac{1}{2\sqrt{c_1} }=0 \)

\(\frac{\frac{1}{1,1}}{\sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}}} = \frac{1}{\sqrt{c_1} }   |^{2}  \)

\((\frac{1}{1,1})^{2}= \frac{1}{{c_1} }   \)

\(\frac{100}{121}= \frac{1}{{c_1} }  \)

\(c_1=1,21 \)

\( c_0 + \frac{1,21}{1,1}=120  \)

\( c_0 ≈118,9  \)

\(U = \sqrt{118,9 } + \sqrt{1,21}≈12,0041 \)

Da ist irgendwo ein Fehler drin.