Beschränktheit und Monotonie zeigen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Beschränktheit (nach oben und unten) und auf Monotonie.

Text erkannt:

(a) \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\frac{-x^{2}}{1+x^{2}} \),
(b) \( g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=\frac{\sin (x)}{x} \),
(c) \( u:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, u(x):=x^{2} e^{x} \),
(d) \( v:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, v(x):=-\sinh (x) \sqrt{x} \).

Problem/Ansatz:

Wie soll ich hier grundsätzlich vorgehen? Rein logisch gesehen würde ich vermuten das a) durch 0 und 1 beschränkt ist, aber wie soll ich da grundsätzlich vorgehen? Auch für die Monotonie brauche ich einen Tipp. Kann ich da irgendwas mit Ableitungen machen?

Comments

Zur c) fällt mir ein: e^x ist immer nach unten beschränkt (durch 1?) und immer streng monoton wachsend? Nach oben nicht beschränkt?

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a) f(x) - (x^2+1 -1)/ (x^2+1)  = - 1 + 1/(x^2+1)

b) L'Hospital

c) u(x)  = x^2/e^-x ( L'Hopital)

d) v(x) = -sinh(x)/ x^(-1/2)

Das sollte weiterhelfen.

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(L'Hopital)

Wozu das?

Answer 1

Wie soll ich hier grundsätzlich vorgehen? Rein logisch gesehen würde ich vermuten das a) durch 0 und 1 beschränkt ist, aber wie soll ich da grundsätzlich vorgehen?

Eine Wertetabelle und ein Graph könnten helfen eine Vermutung zu bekommen. Grenzwerte, Monotonie und berechnete Extrempunkte tun denke ich ihr übriges.

Auch für die Monotonie brauche ich einen Tipp. Kann ich da irgendwas mit Ableitungen machen?

Ist der Graph monoton steigend/fallend dann ist die Ableitung immer größer/kleiner oder gleich Null.

Comments

Danke, das hilft mir schon mal weiter.

Heißt das, es gibt keine allgemeine Vorgehensweise, sondern man muss immer bei jeder Funktion neu überlegen wie man argumentiert?

Ich bin gerade auf eine Bearbeitung gestoßen, da wurde oft mit lim x -> ∞ und lim x ->0 argumentiert. Mir scheint es, dass dies oft vielsprechend ist oder sehe ich das falsch?

Zum Beispiel bei der a) hätte ich ja x->0 = 0 und g->∞ = 1.

Bei der b) würde das glaube ich wenig Sinn machen, aber bei der c) wiederum schon..

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Nach Kommentar korrigiert:

Bei b) würde es auch Sinn machen, da der Grenzwert für x → 0 nach L'Hospital 1 ist. Damit muss die Funktion auch beschränkt sein.

bei c) sieht man auch leicht das die Funktion für x --> ∞ divergiert.

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Die Funktion \(g(x)=\frac{\sin x}x\) ist im Intervall \((0,\infty)\) sehr wohl beschränkt.
Außerdem existiert der Grenzwert für \(x\to0\) ebenfalls sehr wohl und ist gleich \(1\).

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@Arsinoé4

Danke für die Korrektur. Ich habe das in meinem Kommentar verbessert.

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Alles klar, danke euch.

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Warum ist denn bei (b) mit \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=1\) bereits die Beschränktheit von \(g\) gezeigt?

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Mint dem Grenzwert x → 0 noch nicht nur in Vermindung mit dem Grenzwert x --> ∞.