Lösen Sie das Anfangswertproblem

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangsproblem

$$ (12tu + 3) dt + 6t^2 du = 0 , u(1)=1 $$

Also wie wäre die Lösung, wenn

$$P(t,u) = 12tu + 3            Q(t,u) = 6t^2 $$

$$ t = - \int \frac{6t^2}{12tu + 3} du $$

Wir bekommen dann

$$ u(t) = \frac{\frac{1}{2} e^{-2(t-1-\frac{1}{2} ln|15|)} -3}{12t} $$

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Differentialgleichung$$(12tu+3)\,dt+6t^2\,du=0$$sofort als totales Differential schreiben:$$\frac{\partial}{\partial t}\left(6t^2u+3t\right)\,dt+\frac{\partial}{\partial u}(6t^2u+3t)\,du=0\quad\implies\quad d(6t^2u+3t)=0$$

Daher ist \(\color{blue}6t^2u+3t\eqqcolon c=\text{const}\) und die Anfangsbedingung liefert:$$u(t=1)=1\implies 6\cdot1^2\cdot1+3\cdot1=c\implies c=9$$

Damit sind wir fertig:$$6t^2u+3t=9\implies u=\frac{9-3t}{6t^2}\implies\pink{u(t)=\frac{3-t}{2t^2}}$$

Answer 2

Hallo,

Lösung als exakte DGL:

Comments

Sie sind ebenso beste Antwort und eine große Hilfe, vielen vielen Dank

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