Aloha :)
Bei Differentialgleichungen 1-ter Ordnung ist es oft eine gute Idee, y′=dxdy zu verwenden und dann mit den Differentialen wie mit normalen Brüchen zu rechnen. Das ist mathematisch zwar etwas unsauber, aber hunderttausende von Physikern und Ingenieuren kommen damit hervorragend klar. Ziel ist es dann, alle y-Terme auf die eine und alle x-Terme auf die andere Seite zu bringen.
xy′=(1+y)2sin(x)∣∣∣∣∣⋅xy′=(1+y)2xsin(x)∣∣∣ : (1+y)2(1+y)21y′=xsin(x)∣∣∣∣∣y′=dxdy(1+y)21dxdy=xsin(x)∣∣∣∣∣⋅dx(1+y)21dy=xsin(x)dx
Jetzt können wir beide Seiten unabhängig voneinander integrieren. Dabei entsteht links eine Integrationskonstante cy und rechts eine Integrationskonstante cx:∫(1+y)21dy=−1+y1+cy∫xsinxdx=−xcosx+∫1⋅cosxdx=−xcosx+sinx+cx
Damit gehen wir wieder in unsere Gleichung von oben rein:−1+y1+cy=sinx−xcosx+cx∣∣∣∣∣−cy−1+y1=sinx−xcosx+(cx−cy)∣∣∣∣∣⋅(−1)1+y1=xcosx−sinx−(cx−cy)∣∣∣∣∣Kehrwerte1+y=xcosx−sinx−(cx−cy)1∣∣∣∣∣−1y=xcosx−sinx−(cx−cy)1−1∣∣∣∣∣c : =−(cx−cy)=consty(x)=xcosx−sinx+c1−1Das ist die allgemeine Lösung der angegebenen Differentialgleichung.
Hier haben wir noch die Anfangsbedingung y(π/2)=0, woraus c folgt:0=y(2π)=−1+c1−1⟹c−11=1⟹1=c−1⟹c=2y(x)=xcosx−sinx+21−1mity(2π)=0