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Aufgabe:

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem


Problem/Ansatz:
yx \frac{y'}{x} =(1+y)²*sin(x) ; y(pi/2) = 0

Normalerweiser komme ich mit AWP-Aufgaben ganz gut zurecht, nur bei dieser fehlt mir ein wenig der erste Schritt durch den ersten Bruch.

Des Weiteren soll ich noch die allg. Lösung der DGL in expliziter Form angeben.


LG Baker

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Hallo

rechne dy/(1+y)2=x*sin(x)dx und integriere beide Seiten.

Gruß lul

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Aloha :)

Bei Differentialgleichungen 1-ter Ordnung ist es oft eine gute Idee, y=dydxy'=\frac{dy}{dx} zu verwenden und dann mit den Differentialen wie mit normalen Brüchen zu rechnen. Das ist mathematisch zwar etwas unsauber, aber hunderttausende von Physikern und Ingenieuren kommen damit hervorragend klar. Ziel ist es dann, alle yy-Terme auf die eine und alle xx-Terme auf die andere Seite zu bringen.

yx=(1+y)2sin(x)x\left.\frac{y'}{x}=(1+y)^2\sin(x)\quad\right|\cdot xy=(1+y)2xsin(x) : (1+y)2\left.y'=(1+y)^2\,x\sin(x)\quad\right|:\,(1+y)^21(1+y)2y=xsin(x)y=dydx\left.\frac{1}{(1+y)^2}\,y'=x\sin(x)\quad\right|y'=\frac{dy}{dx}1(1+y)2dydx=xsin(x)dx\left.\frac{1}{(1+y)^2}\,\frac{dy}{dx}=x\sin(x)\quad\right|\cdot dx1(1+y)2dy=xsin(x)dx\left.\frac{1}{(1+y)^2}\,dy=x\sin(x)\,dx\quad\right.

Jetzt können wir beide Seiten unabhängig voneinander integrieren. Dabei entsteht links eine Integrationskonstante cyc_y und rechts eine Integrationskonstante cxc_x:1(1+y)2dy=11+y+cy\int\frac{1}{(1+y)^2}\,dy=-\frac{1}{1+y}+c_yxsinxdx=xcosx+1cosxdx=xcosx+sinx+cx\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int1\cdot\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x+c_x

Damit gehen wir wieder in unsere Gleichung von oben rein:11+y+cy=sinxxcosx+cxcy\left.-\frac{1}{1+y}+c_y=\sin x-x\cos x+c_x\quad\right|-c_y11+y=sinxxcosx+(cxcy)(1)\left.-\frac{1}{1+y}=\sin x-x\cos x+(c_x-c_y)\quad\right|\cdot(-1)11+y=xcosxsinx(cxcy)Kehrwerte\left.\frac{1}{1+y}=x\cos x-\sin x-(c_x-c_y)\quad\right|\text{Kehrwerte}1+y=1xcosxsinx(cxcy)1\left.1+y=\frac{1}{x\cos x-\sin x-(c_x-c_y)}\quad\right|-1y=1xcosxsinx(cxcy)1c(cxcy)=const\left.y=\frac{1}{x\cos x-\sin x-(c_x-c_y)}-1\quad\right|c\coloneqq-(c_x-c_y)=\text{const}y(x)=1xcosxsinx+c1y(x)=\frac{1}{x\cos x-\sin x+c}-1Das ist die allgemeine Lösung der angegebenen Differentialgleichung.

Hier haben wir noch die Anfangsbedingung y(π/2)=0y(\pi/2)=0, woraus cc folgt:0=y(π2)=11+c1    1c1=1    1=c1    c=20=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{-1+c}-1\implies\frac{1}{c-1}=1\implies1=c-1\implies c=2y(x)=1xcosxsinx+21mity(π2)=0y(x)=\frac{1}{x\cos x-\sin x+2}-1\quad\text{mit}\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

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