Aloha :)
Bei Differentialgleichungen 1-ter Ordnung ist es oft eine gute Idee, \(y'=\frac{dy}{dx}\) zu verwenden und dann mit den Differentialen wie mit normalen Brüchen zu rechnen. Das ist mathematisch zwar etwas unsauber, aber hunderttausende von Physikern und Ingenieuren kommen damit hervorragend klar. Ziel ist es dann, alle \(y\)-Terme auf die eine und alle \(x\)-Terme auf die andere Seite zu bringen.
$$\left.\frac{y'}{x}=(1+y)^2\sin(x)\quad\right|\cdot x$$$$\left.y'=(1+y)^2\,x\sin(x)\quad\right|:\,(1+y)^2$$$$\left.\frac{1}{(1+y)^2}\,y'=x\sin(x)\quad\right|y'=\frac{dy}{dx}$$$$\left.\frac{1}{(1+y)^2}\,\frac{dy}{dx}=x\sin(x)\quad\right|\cdot dx$$$$\left.\frac{1}{(1+y)^2}\,dy=x\sin(x)\,dx\quad\right.$$
Jetzt können wir beide Seiten unabhängig voneinander integrieren. Dabei entsteht links eine Integrationskonstante \(c_y\) und rechts eine Integrationskonstante \(c_x\):$$\int\frac{1}{(1+y)^2}\,dy=-\frac{1}{1+y}+c_y$$$$\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int1\cdot\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x+c_x$$
Damit gehen wir wieder in unsere Gleichung von oben rein:$$\left.-\frac{1}{1+y}+c_y=\sin x-x\cos x+c_x\quad\right|-c_y$$$$\left.-\frac{1}{1+y}=\sin x-x\cos x+(c_x-c_y)\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.\frac{1}{1+y}=x\cos x-\sin x-(c_x-c_y)\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.1+y=\frac{1}{x\cos x-\sin x-(c_x-c_y)}\quad\right|-1$$$$\left.y=\frac{1}{x\cos x-\sin x-(c_x-c_y)}-1\quad\right|c\coloneqq-(c_x-c_y)=\text{const}$$$$y(x)=\frac{1}{x\cos x-\sin x+c}-1$$Das ist die allgemeine Lösung der angegebenen Differentialgleichung.
Hier haben wir noch die Anfangsbedingung \(y(\pi/2)=0\), woraus \(c\) folgt:$$0=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{-1+c}-1\implies\frac{1}{c-1}=1\implies1=c-1\implies c=2$$$$y(x)=\frac{1}{x\cos x-\sin x+2}-1\quad\text{mit}\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$
