Wertebereich einer streng monotonen Funktion

Question

Aufgabe:

Sei $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ streng monoton fallend. Dann ist ℝ der Wertebereich (das Bild) von f.

Problem/Ansatz:

Theoretisch müsste der Wertebereich ebenfalls ℝ sein, wenn eine Funktion streng monoton fallend ist, oder?

Answer 1

Nein.

Beispiel: f(x)=e^{-x}

Streng monoton fallend, Wertebereich ℝ⁺

:-)

Comments

Dankeee, hab die e-Funktionen vergessen :) (0, inf)

Answer 2

Der Wertebereich müsste ebenfalls ℝ sein, wenn eine Funktion streng monoton fallend ist, oder?

Jede Potenzfunktion f(x)=a^x eignet sich hier (neben der speziellen e-Funktion) als Gegenbeispiel.

Comments

Potenzfunktion f(x)=ax

Das sind Exponentialfunktionen, keine Potenzfunktionen.

Answer 3

Hier gibt es offenbar ein mathematisches Sprachproblem.

Wertebereich einer Abbildung und Bild sind nicht dasselbe.

Wenn die Abbildung als \(f:\; M\to N\) angegeben ist, ist

\(N\) per Definition der Wertebereich von \(f\). Das Bild ist

hingegen \(f(M)\). \(f:\; \mathbb{R}\to \mathbb{R},\; x\mapsto e^{-x}\) hat

also den Wertebereich \(\mathbb{R}\), aber das Bild \(\mathbb{R}^+\).

Hier gibt es aber abweichende Benennungen in der Literatur, so dass

dort z.B. Zielbereich oder Zielmenge gesagt wird, wo ich Wertebereich sage ...

Ich verwende hier die Bezeichnungen aus

Lexikon der Mathematik, Springer Spektrum.