Beweise zu AT*A gesucht

Question

Aufgabe:

Sei $A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$. Zeigen Sie:

(a) $A^{\top} A$ ist symmetrisch.

(b) $A^{\top} A$ ist positiv definit.

(c) Es gibt in $B \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$ mit $A^{\top} A=B^{2}$.

Problem/Ansatz:

Irgendwie hänge ich hier. Wäre dankbar um Tipps

Answer 1

(a) Seien

        $A=\left(\begin{smallmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{smallmatrix}\right)$,

        $B=\left(\begin{smallmatrix}b_{1,1} & \dots & b_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n,1} & \dots & b_{n,n} \end{smallmatrix}\right)$,

        $C=\left(\begin{smallmatrix}c_{1,1} & \dots & c_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n,1} & \dots & c_{n,n} \end{smallmatrix}\right)$

mit $B\cdot A=C$.

Dann ist

        $c_{i,j} =\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$

für alle $i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}$.

Ist $B=A^{\mathrm{T}}$, dann ist

        $b_{i,j}=a_{j,i}$

für alle $i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}$.

Die Matrix $C$, ist genau dann symmetrisch, wenn

        $c_{i,j}=c_{j,i}$

für alle $i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}$.

Zeige also, dass $c_{i,j}=c_{j,i}$ für alle $i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}$  ist, wenn $B=A^{\mathrm{T}}$ ist.

Answer 2

b)

Sei $\langle *,*\rangle$ das Standardskalarprodukt, dann gilt

für $x\neq 0$:

$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=\langle Ax, Ax\rangle > 0$, da

$Ax\neq 0$ wegen der Invertierbarkeit von $A$.

c)

Da $A^TA$ symmetrisch ist, gibt es $S\in GL_n$, so dass

$S^{-1}(A^TA)S=diag(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)$, wobei

die $\lambda_i$ die Eigenwerte von $A^TA$ sind.

Diese sind wegen der positiv-Definitheit alle $>0$.

Mit diesen Infos solltest du weiterkommen ...