Beweise zu A^T*A gesucht

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \). Zeigen Sie:

(a) \( A^{\top} A \) ist symmetrisch.

(b) \( A^{\top} A \) ist positiv definit.

(c) Es gibt in \( B \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) mit \( A^{\top} A=B^{2} \).

Problem/Ansatz:

Irgendwie hänge ich hier. Wäre dankbar um Tipps

Answer 1

(a) Seien

        \(A=\left(\begin{smallmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{smallmatrix}\right)\),

        \(B=\left(\begin{smallmatrix}b_{1,1} & \dots & b_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n,1} & \dots & b_{n,n} \end{smallmatrix}\right)\),

        \(C=\left(\begin{smallmatrix}c_{1,1} & \dots & c_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n,1} & \dots & c_{n,n} \end{smallmatrix}\right)\)

mit \(B\cdot A=C\).

Dann ist

        \(c_{i,j} =\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\)

für alle \(i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}\).

Ist \(B=A^{\mathrm{T}}\), dann ist

        \(b_{i,j}=a_{j,i}\)

für alle \(i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}\).

Die Matrix \(C\), ist genau dann symmetrisch, wenn

        \(c_{i,j}=c_{j,i}\)

für alle \(i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}\).

Zeige also, dass \(c_{i,j}=c_{j,i}\) für alle \(i,j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}\)  ist, wenn \(B=A^{\mathrm{T}}\) ist.

Answer 2

b)

Sei \(\langle *,*\rangle\) das Standardskalarprodukt, dann gilt

für \(x\neq 0\):

\(x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=\langle Ax, Ax\rangle > 0\), da

\(Ax\neq 0\) wegen der Invertierbarkeit von \(A\).

c)

Da \(A^TA\) symmetrisch ist, gibt es \(S\in GL_n\), so dass

\(S^{-1}(A^TA)S=diag(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)\), wobei

die \(\lambda_i\) die Eigenwerte von \(A^TA\) sind.

Diese sind wegen der positiv-Definitheit alle \(>0\).

Mit diesen Infos solltest du weiterkommen ...