Darstellende Matrix, Basiswechsel

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektorraume U = R³; V = R² sowie die lineare Abbildung p : U -> V mit der
darstellenden Matrix A.

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0  & -2\\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \)

Weiter seien B und B' zwei Basen des R³ mit

B = b₁ = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\5 \end{pmatrix} \) , b₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) ,b₃ = \( \begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} \)

B' = b'₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , b'₂ = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,b'₃ = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

sowie B'' eine Basis des R² mit

B'' = b''₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \) , b''₂ = \( \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \)

1. Berechnen Sie die Basiswechselmatrix zwischen den Basen B und B', also B' [id_R³ ]B :

Hier habe ich diese Basiswechselmatrix ausgerechnet

\( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist nun wie gehe in Aufgabe 2 vor? Und wie kontrolliere ich meine Lösung dann auch?

Berechnen Sie unter Verwendung der Basiswechselmatrix aus Aufgabenteil 1 die
Matrix von p bezüglich der Basen B und B'', also B''[p]B.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu 1) Die Komponenten der Vektoren in den beiden Basen \(B\) und \(B1\) sind bezüglich der 3-dimensionalen kanonischen Einheitsbasis \(E3\) angebeben. Daher kennen wir ihre Transformationsmatrizen in die Basis \(E\):$$_{E3}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3\\3 & 2 & 2\\5 & 3 & 3\end{array}\right)\quad;\quad _{E3}\mathbf{id}_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(B1\) ist daher:$$_{B1}\mathbf{id}_B=_{B1\!}\mathbf{id}_{E3}\cdot _{E3}\mathbf{id}_B=\left(_{E3}\mathbf{id}_{B1}\right)^{-1}\cdot _{E3}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\3 & 2 & 1\\2 & 1 & 2\end{array}\right)$$

Dein Ergebnis kann ich also bestätigen.

zu 2) Die Abbildungsmatrix \(A\) erwartet Eingangsvektoren bezüglich der 2-dimensionalen kanonischen Einheitsbasis \(E2\) und liefert Ausgangsvektoren bezüglich der schon oben verwendeten 3-dimensionalen kanonischen Einheitsbasis \(E3\):$$A=_{E2\!}A_{E3}$$

Die Koordinaten der neu auftachenden Basis \(B2\) sind bezüglich der Basisvektoren von \(E2\) gegeben, sodass wir auch hier die Transformationsmatrix von \(B2\) nach \(E2\) kennen:$$_{E2}\mathbf{id}_{B2}=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\2 & -1\end{array}\right)$$

Die gesuchte Abbildungsmatrix können wir daher so berechnen:$$_{B2}A_B=_{B2}\mathbf{id}_{E2}\cdot _{E2\!}A_{E3}\cdot _{E3}\mathbf{id}_{B}=\left(_{E2}\mathbf{id}_{B2}\right)^{-1}\cdot A\cdot _{E3}\mathbf{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-8 & -5 & -3\\-44 & -26 & -28\end{array}\right)$$

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung : ).

Wie komme ich auf die gegebenen Formel, in meinen Folien finde ich diese nämlich nicht,

Könntest du mir auch eventuell zeigen, wie ich das ganze kontrollieren kann?

Ich habe ein kleines Kontrollproblem.

Wenn ich einen Vektor sagen wir (1,1,1), mit der B multipliziere, dann A mit b2Ab mit (1,1,1)

und das Ergebnis mit b2 multipliziere bekomme ich ja kein Vektor 3, sondern ein Vektor 2 und die Ergebnisse passen nicht mehr zusammen

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Wenn du das nicht in deinen Folien findest, hast du vermutlich einen weniger guten Prof erwischt. Das Prinzip ist ja eigentlich sehr einfach. Die Basis der Vektorkomponenten muss dieselbe sein wie die Eingangsbasis einer Matrix bzw. einer Abbildung und man kann mittels der Basiswechselmatrizen die Basis der Vektorkomponenten ändern.

Zur Probe würde ich die einzelnen Basisvektoren durchprobieren:$$

$$\phantom=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}_{E3}\pink{\mapsto}\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\3 & -1 & 5\end{pmatrix}^{E3}_{E2}\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}_{E3}$$$$=\begin{pmatrix}2+0-10\\6-3+25\end{pmatrix}_{E2}=\begin{pmatrix}-8\\28\end{pmatrix}_{E2}=-8\cdot\binom{1}{2}_{E2}-44\binom{0}{-1}_{E2}$$$$=-8\cdot\vec b''_1-44\cdot\vec b''_2=\binom{-8}{-44}_{B2}\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo,

welche Aufgabe 2?

LG

EL

Comments

Mein Fehler habe es nun ergänzt

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Hallo,

Berechne B''^(-1) A B.

Das Ergebnis aus Aufgabe 1 wird nicht benötigt.

Kontrolliere, indem du das ganze mit einen Punkt durchrechnest. Das ist natürlich kein Beweis, bringt aber Sicherheit.

LG

EL

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B''^-1= \( \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \) * B

C = A * B = \( \begin{pmatrix} -8 & -5 & -3\\ 28 & 16 & 22 \end{pmatrix} \)

B''^-1 * C = \( \begin{pmatrix} -8 & -5 & -3 \\ -44 & -26 & -28 \end{pmatrix} \)

Kann das stimmen? wie würde ich hier auch die 2 punkte vergleichen wenn B'' in R² ist und B in R³?

Danke für die hilfe :)

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Bei mir ist die letzte Spalte nicht (-3, -28)^T, sondern (-1, -19)^T.

Die beiden ersten Spalten habe ich auch.

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Deine Lösung stimmt. Habe falsch abgeschrieben.

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danke :), kannst du mir sagen wie ich die kontrolle noch mache?