Homomorphimus im Z7 Körper

Question

Sei f : ℤ → ℤ₇ definiert durch f(n) = n mod 7. Zeigen oder widerlegen Sie: f ist ein
Homomorphismus von (ℤ, +) nach (ℤ₇, +).

Mein Ansatz wäre dass f(6) + f(6) = 6 + 6 = 12 ≠ 5 = f(12) = f(6 + 6)

Würde das so stimmen oder hab ich einen Denkfehler?

Comments

Es ist 12 mod 7 = 5 mod 7. Die Bilder sind Restklassen, keine Zahlen (außer ihr habt in der Vorlesung ungewöhnliche Definitionen getroffen). Insofern stellt die Gleichheit oben keinen Widerspruch zur Additivität dar.

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Wie würde ich das allgemein zeigen? Meine Idee wäre:

Es gilt für Addition bei modulo: (a+b) mod 7 = (a mod 7 + b mod 7) mod 7
Also f(a) + f(b) = (a mod 7 + b mod 7) mod 7 = f(a + b)

Answer 1

6 + 6 = 12

Das stimmt in \(\mathbb{Z}_7\) nicht.

In \(\mathbb{Z}_7\) ist \(6 + 6 = 5\).

Comments

Meinst du so ein Beweis würde dann reichen:

Es gilt für Addition bei modulo: (a+b) mod 7 = (a mod 7 + b mod 7) mod 7
Also f(a) + f(b) = (a mod 7 + b mod 7) mod 7 = f(a + b)

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Das müsste reichen.

Answer 2

\(f(a)+f(b)=(a+7\mathbb{Z})+(b+7\mathbb{Z})=(a+b)+7\mathbb{Z}=f(a+b)\);

denn \((7\mathbb{Z},+)\) ist eine Gruppe, daher \(7\mathbb{Z}+7\mathbb{Z}=7\mathbb{Z}\)