Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion F : ℝ² → ℝ : (x,y) → F(x,y) = 4x + y unter den …

Question

Aufgabe:

Bestimme das Minimum und das Maximum der Funktion F : ℝ² → ℝ : (x,y) → F(x,y) = 4x + y unter den Ungleichheitsrestriktionen  x − y² ≥ −1 and x − y ≤ 1.

Problem/Ansatz:

Das Maximum konnte ich ohne Probleme bestimmen. Beim Minimum habe ich jedoch Probleme da die Niveaukurven von F(x,y) = 4x + y = c tangent zu x − y² ≥ −1 sein muss. Wie finde ich diesen Punkt?

Answer 1

Verwende das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren:

\(\begin{aligned} F(x,y) & =4x+y\\ G(x,y) & =x-y^{2}+1\\ \Lambda(x,y,\lambda) & =F(x,y)+\lambda G(x,y) \end{aligned}\)

Bestimme die Nullstelle des Gradienten von \(\Lambda\).

Answer 2

da die Niveaukurven von F(x,y) = 4x + y = c tangent zu x − y² ≥ −1 sein muss.

4x + y = c kann man als y=-4x+c schreiben, das ist eine Gerade mit dem Anstieg -4.

x − y² =−1 lässt sich als y=±√(x+1) schreiben.

y=-√(x+1) hat tatsächlich irgendwo den Anstieg -4.

Comments

Vielen Dank, hab es mit dieser Methode auch hinbekommen :)