Bestimmen Sie die Extremstellen der Funkion f(x, y, z):=x^{2}+y^{2}+z^{2} mit den Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funkion \( f(x, y, z):=x^{2}+y^{2}+z^{2} \) mit den Nebenbedingungen

\( x^{2} y^{2}+z=1 \text { und } x^{2}+y^{2}=2 \text {. } \)

Problem/Ansatz:

Ich habe schon alle Ableitungen und das Gleichungssystem aufgestellt. Allerdings komme ich beim lösen nicht weiter. Für einen Tipp wäre ich dankbar

\( \begin{array}{l}2 x=2 x\left(y^{2} \lambda_{1}+\lambda_{2}\right) \quad \mid \\ 2 y=2y\left(x^{2} \lambda_{1}+\lambda_{2}\right) \\ 2 z=\lambda_{1} \quad . \\ x^{2} y^{2}+z=1 \\ x^{2}+y^{2}=2 \\ \end{array} \)

Answer 1

Bringe alles auf eine Seite. Man will den Satz vom Nullprodukt (SvN) anwenden.

Wende also SvN auf die erste und zweite Gleichung an, arbeite die Fälle durch. Dividiere nicht (dabei verliert man leicht Fälle).

Dann bleiben (wir arbeiten weiter nur mit den ersten beiden Gleichungen) dann zwei ähnlich aussehende Klammerausdrücke. Subtrahiere, wende SvN an und erhalte \(x²=y²\). Damit geht man in die letzten beiden Gleichungen und bestimmt die Werte. Probler mal.

Answer 2

Ich glaube die Extrema sind:

MAximum: (-+$\sqrt{2}$,0,1) (0,+-$\sqrt{2}$,1)

Minimum: (+-1,+-1,0)

Answer 3

Aloha :)

Gemäß Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion$$f(x;y;z)=x^2+y^2+z^2$$eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen$$g_1(x;y;z)=x^2y^2+z=1\quad;\quad g_2(x;y;z)=x^2+y^2=2$$sein. Das heißt hier konkret:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda_1\operatorname{grad}g_1(x;y;z)+\lambda_2\operatorname{grad}g_2(x;y;z)$$$$\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}2xy^2\\2x^2y\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}2x\\2y\\0\end{pmatrix}$$Die Lagrange-Multiplikatoren \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) brauchen wir nicht zu bestimmen, denn wenn die 3 Gradienten linear abhängig sind, müssen sie in einer Ebene liegen. Das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen muss also verschwinden. Da der Betrag der Determinate einer \(n\times n\)-Matrix das \(n\)-dimensionale Volumen angibt, das die Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufspannen, heißt unsere Forderung:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2x & 2xy^2 & 2x\\2y & 2x^2y & 2y\\2z & 1 & 0\end{array}\right|=2x\cdot2x^2y-2y\cdot2xy^2=4x^3y-4xy^3=4xy(x^2-y^2)$$Das führt uns auf 3 Fälle:$$x=0\quad\lor\quad y=0\quad\lor\quad x^2=y^2$$

Diese setzen wir in die Nebenbedingungen ein...

1. Fall \(x=0\)$$1=g_1(0;y;z)=z\quad;\quad 2=g_2(0;y;z)=y^2$$Dieser Fall liefert also 2 Kandidaten für Extrema:$$K_1(0;\sqrt2;1)\quad;\quad K_2(0;-\sqrt2;1)$$

2, Fall \(y=0\)$$1=g_1(x;0;z)=z\quad;\quad 2=g_2(x;y;z)=x^2$$Wir erhalten 2 weiter Kandidaten für Extrema:$$K_3(\sqrt2;0;1)\quad;\quad K_4(-\sqrt2;0;1)$$

3, Fall \(x^2=y^2\)$$1=g_1(x;x;z)=x^4+z\quad;\quad g_2(x;x;z)=2x^2=2$$Aus der zweiten Bedinung folgt \(x=\pm1\), sodass aus der ersten Bedingung \(z=0\) folgt. Damit liefert dieser Fall 4 weitere Kandidaten:$$K_5(1;1;0)\quad;\quad K_6(1;-1;0)\quad;\quad K_7(-1;1;0)\quad;\quad K_8(-1;-1;0)$$

Einsetzen der Werte ergibt:$$f(\vec k_1)=f(\vec k_2)=f(\vec k_3)=f(\vec k_4)=3$$$$f(\vec k_5)=f(\vec k_6)=f(\vec k_7)=f(\vec k_8)=2$$

Wir haben daher folgende Extrema gefunden:$$\text{Maxima bei}\quad (0;\pm\sqrt2;1)\;\lor\;(\pm\sqrt2;0;1)$$$$\text{Minima bei}\quad (\pm1;\pm1;0)\;\lor\;(\pm1;\mp1;0)$$