Prüfen ob Vektor x Teil des Bildes

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Eine lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ ist durch die Abbildungsmatrix
$F:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -8 \end{array}\right)$
gegeben.
a) Bestimmen Sie $\operatorname{rg}(F)$.
b) Berechnen Sie $f\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -3\end{array}\right)\right)$.
c) Prüfen Sie, ob gilt: $\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \in \operatorname{Bild}(f)$.
d) Prüfen Sie, ob $f$ surjektiv oder injektiv ist.
e) Zeigen Sie, dass der Vektor $\left(\begin{array}{c}5 \\ -4 \\ 0 \\ -3\end{array}\right)$ auf allen Vektoren von Bild $(f)$ senkrecht steht.

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keinen Ansatz, wie ich die "c" bestimmen soll! Kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Was passiert, wenn du die ersten beiden Spalten der Matrix addierst?

Comments

Ich komme auf meinen Vektor... wow.. und wenn das geht ist er im Bild?

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Das Bild besteht aus den Linearkombinationen der Spaltenvektoren.

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Vielen dank!!! Jetzt hab ich es

Answer 2

Bild($f)$ ist der Spaltenraum der Matrix $F$. Versuche also den Vektor als Linearkombination der Spalten darzustellen, d.h. das entsprechende LGS zu lösen.