Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a , b und c , für die gilt:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a , b und c , für die gilt:

F(x) = x²+X / x³ −x² + X −1 = (a / x−1 ) + ( Bx+C / x² + 1  ) 

Problem/Ansatz:

kann jemand netterweise mir weiterhelfen ?

-----

Edit by Monty:

$$f(x) = \frac{x²+x}{ x³ −x² + x−1} = \frac{a}{x−1}+ \frac{bx+c}{ x² + 1 } $$

Tipp: Lernt LaTeX!

Answer 1

(x^2 + x)/(x^3 - x^2 + x - 1) = a/(x - 1) + (b·x + c)/(x^2 + 1)

Multipliziere mit dem Hauptnenner (x - 1)(x^2 + 1) = x^3 - x^2 + x - 1.

x^2 + x = a·(x^2 + 1) + (b·x + c)·(x - 1)

Wir multiplizieren die rechte Seite aus.

x^2 + x = a·x^2 + a + b·x^2 + (c - b)·x - c
x^2 + x = (a + b)·x^2 + (c - b)·x + (a - c)

Wir machen jetzt einen Koeffizientenvergleich.

a + b = 1
c - b = 1
a - c = 0 --> a = 1 ∧ b = 0 ∧ c = 1

Man hätte vorher auch bereits drei Werte für x (inkl. x = 1) einsetzen können. Das wäre evtl. noch etwas einfacher gewesen

x^2 + x = a·(x^2 + 1) + (b·x + c)·(x - 1)

0^2 + 0 = a·(0^2 + 1) + (b·0 + c)·(0 - 1) --> a - c = 0
1^2 + 1 = a·(1^2 + 1) + (b·1 + c)·(1 - 1) --> 2·a = 2
2^2 + 2 = a·(2^2 + 1) + (b·2 + c)·(2 - 1) --> 5·a + 2·b + c = 6

Dann wäre das vermutlich noch etwas leichter gewesen.

Answer 2

Bei Deiner Aufgabe hast Du diverse Klammern vergessen.

Und Du solltest alle Variablen mit kleinen Buchstaben schreiben.

Answer 3

Aloha :)

$$F(x)=\frac{x^2+x}{x^3-x^2+x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$Wir haben 3 Unbekannte \(A,B,C\). Daher brauchen wir 3 Gleichungen zu ihrer Bestimmung. Diese Gleichungen erhalten wir durch Einsetzen verschiedener Werte für \(x\):

$$F(x=0)=0=\frac{A}{-1}+\frac{C}{1}\implies 0=-A+C\implies \color{red}A=C$$$$F(x=-1)=0=\frac{A}{-2}+\frac{-B+\color{red}C}{2}\stackrel{(A=C)}{\implies}0=-\frac A2-\frac B2+\frac{\color{red}A}{2}=-\frac B2\implies\green{B=0}$$$$F(x=2)=\frac{6}{5}=\frac A1+\frac{\green B\cdot2+\color{red}C}{5}=A+\frac{\green 0\cdot2+\color{red}A}{5}=A+\frac{\color{red}A}{5}=\frac65A\implies A=1$$Damit lautet die Zerlegung:$$F(x)=\frac{x^2+x}{x^3-x^2+x-1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^2+1}$$