Aloha :)
$$\left(6x^2+\frac{3}{2x}\right)^4=\left(6x^2+\frac{3}{2x}\right)\cdot\left(6x^2+\frac{3}{2x}\right)\cdot\left(6x^2+\frac{3}{2x}\right)\cdot\left(6x^2+\frac{3}{2x}\right)$$
Beim Ausmultiplizieren der Produkte müssen wir aus jeder Klammer genau einen der beiden Summanden auswählen.
1) Wir haben genau \(1\) Möglichkeit, aus jeder Klammer \(6x^2\) auszuwählen:$$1\cdot(6x^2)^4=6^4\cdot x^8=1296\,x^8\quad\implies\quad \underline{\underline{a=1296}}$$
2) Wir haben genau \(\binom{4}{1}=4\) Möglichkeiten, aus drei Klammern \(6x^2\) und aus einer Klammer \(\frac{3}{2x}\) auszuwählen:$$4\cdot(6x^2)^3\cdot\frac{3}{2x}=4\cdot 6^3\cdot\frac32\cdot x^5=1296\,x^5\quad\implies\quad \underline{\underline{b=1296}}$$
3) Wir haben genau \(\binom{4}{2}=6\) Möglichkeiten, aus zwei Klammern \(6x^2\) und aus zwei Klammern \(\frac{3}{2x}\) auszuwählen:$$6\cdot(6x^2)^2\cdot\left(\frac{3}{2x}\right)^2=6\cdot6^2\cdot\frac{3^2}{2^2}\cdot x^2=486\,x^2\quad\implies\quad \underline{\underline{c=486}}$$
4) Wir haben genau \(\binom{4}{3}=4\) Möglichkeiten, aus einer Klammern \(6x^2\) und aus drei Klammern \(\frac{3}{2x}\) auszuwählen:$$4\cdot(6x^2)\cdot\left(\frac{3}{2x}\right)^3=4\cdot6\cdot\frac{3^3}{2^3}\cdot x=81\,x\quad\implies\quad \underline{\underline{d=81}}$$
5) Nur der Vollständigkeit halber, wir haben genau \(1\) Möglichkeit, aus jeder Klammer \(\frac{3}{2x}\) auszuwählen:$$1\cdot\left(\frac{3}{2x}\right)^4=\frac{81}{16}\,\frac{1}{x^4}$$
