Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a, b und c , für die gilt:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a, b und c , für die gilt:

F( x ) = 32 x² - 6 x - 6 /  x³ - x = a / x  +  b / x - 1 +  c / x + 1

Answer 1

Du sollst offensichtlich eine Partialbruchzerlegung durchführen

(32·x^2 - 6·x - 6)/(x^3 - x) = a/x + b/(x - 1) + c/(x + 1)

Multiplikation mit dem Hauptnenner (x^3 - x) ergibt

32·x^2 - 6·x - 6 = a·(x - 1)·(x + 1) + b·x·(x + 1) + c·x·(x - 1)

Wir setzen mal Werte für x ein.

x = 0

32·0^2 - 6·0 - 6 = a·(0 - 1)·(0 + 1) + b·0·(0 + 1) + c·0·(0 - 1) --> a = 6

x = 1

32·1^2 - 6·1 - 6 = a·(1 - 1)·(1 + 1) + b·1·(1 + 1) + c·1·(1 - 1) --> b = 10

x = -1

32·(-1)^2 - 6·(-1) - 6 = a·((-1) - 1)·((-1) + 1) + b·(-1)·((-1) + 1) + c·(-1)·((-1) - 1) --> c = 16

Daher gilt nun:

(32·x^2 - 6·x - 6)/(x^3 - x) = 6/x + 10/(x - 1) + 16/(x + 1)

Answer 2

Gefragt ist hier eine Partialbruchzerlegung. Das sollte in Deinen Unterlagen erklärt sein. Das ist im Prinzip das Gegenteil von "auf den Hauptnenner bringen".

Bringe also die rechte Seite auf den Hauptnenner, der Hauptnenner ist der Nenner des Bruchs auf der linken Seite. Dann musst Du nur noch die Zähler vergleichen. Wenn Du im Zähler rechts alles ausmultipliziert hast und nach Potenzen sortiert hast, kannst Du durch diesen Vergleich leicht die a,b,c bestimmen. Z.B. sieht man sofort a=6 und kann damit leicht b und c bestimmen.

Versuch das mal.