Konstruktion der ganzen Zahlen. Bedeutung und Zusammenhang von (a,b) und [a,b]

Question

Bedeutung und Zusammenhang von (a,b) und [a,b] bei der Konstruktion der Ganzen Zahlen. 

a,b ∈ ℕ

Muss man hierbei die Überführung / Einbettung von ℕ in ℤ anwenden?

Answer 1

(a,b) und [a,b] kenne ich als Schreibweise für Intervalle .

(a,b) alle Zahlen zwischen a und b

und [a,b]ebenso, aber einschließlich der Randwerte.

Comments

(a,b) ist das Zahlenpaar (a,b); [a,b] ist die Äquivalenzklasse (Preisfrage : zu welcher Äquivalenzrelation wohl ?), zu der (a,b) gehört.

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Ganze_Zahl

(a,b) ... sind (geordnete) Paare von natürlichen Zahlen.

Stell dir vor, dass sie für die ganze Zahl a - b stehen. Man kommt ja auf die ganzen Zahlen, wenn man natürliche Zahlen voneinander subtrahiert.

Nun soll natürlich die Zahl  - 3 = (0, 3) und ebenso -3 = (1,4) als äquivalent aufgefasst werden.

( a,b) äq (c, d) 

genau dann wenn, a - b = c -d        ( da man die Subtraktion noch nicht hat, schreibt man statt dessen)

genau dann wenn a + d = c + b.

usw.

So kannst du dich bestimmt durch den Wikipediatext arbeiten. - Sonst nochmals nachfragen.

Anmerkung: 

1. Was ich hier gemacht habe, ist nur ein Versuch, den Text in Wikipedia zu veranschaulichen. Mathematisch ist das, wie erwähnt, nicht. 

2. [a,b] kommt im Wikipedia-Artikel in diesem Zusammenhang gar nicht vor. 

Answer 3

  Ich verweise insbesondere auf den ausführlichen Text

  " Einführung in das matematische Denken - Rezension einer Wittgensteinvorlesung "

  von Friedrich Waismann bei dtv

  ausführlicher kriegst du ' s nirgends.


   Dabei sind die ( a ; b )  € |N X |N geordnete Paare natürlicher Zahlen und die eckigen Klammern [ a ; b ] wie üblich die Gleichheitsklassen ===> Äquivalenzrelation.
   Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; für Äquivalenzrelation schlage ich die Eindeutschung Gleichheitsbeziehung vor.
  Auf |N sind drei Dinge erklärt: die Ordnungsbeziehung " < " ( ===> Wohlordnung ! ) so wie die beiden algebraischen Verknüpfungen + und *  Im Wesentlichen läuft es auf eine Fallunterscheidung hinaus ( Als Mathe Abgänger nehmen dich alle Personalabteilungen mit Kusshand, weil du nämlich Fallunterscheidung gelernt hast. )


   1)  Für b  <  a  identifiziere  [ a ; b ] mit der positiven ganzen Zahl a - b . Erläuterung. In diesem Falle ist ja die Subtraktion auf |N ausführbar; durch die Wahl der Symbolik deute ich an, dass ich die positiven Zahlen als Einbettung von |N in |Z betrachte. Über die einzelnen Schritte musst du dir aber schon mal selber Gedanken machen; Vorlesung kann ich dir hier unmöglich halten.


   2)  Setze  [ a ; a ]  =:  0

   3)  Für a < b setze   [ a ; b ]  gleich der negativen Zahl  [ a ; b ]  =  -  (  b - a )