Untervektor Basis; Berechungen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Untervektorräume U = {(x1,x2,x3,x4)^t ∈ R⁴ | x₁ +2x₂ = x₃ + 2x₄} und
V = {(x1,x2,x3,x4)^t ∈ R⁴ | x₁ =  x₂ + x₃ + x₄} des Vektorraums R⁴

1. Geben Sie jeweils eine Basis U und V an.

Ich habe die folgenden Basen berechnet:
U = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)  \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)  \( \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

V = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

U ∩ V = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme, U + V zu berechnen. und bei U ∩ V bin ich mir auch unsicher.

dim(U+V) = dim(v) + dim(u) - dim(U ∩ V)
dim(U+V) = 3 + 3 - 2 = 4. Ich weiß also, dass es 4 Vektoren sein müssen.

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Diese Vektoren habe ich raus, wenn ich alle 6 Vektoren (bzw. 5, da 2 identisch sind) mit dem Gauß-Algorithmus in Stufenform berechne.

Answer 1

dim(U+V) = 3 + 3 - 2 = 4.

Wegen \(U+V\subseteq \mathbb{R}^4\) und \(\dim\mathbb{R}^4=4\) ist \(U+V = \mathbb{R}^4\).

und bei U ∩ V bin ich mir auch unsicher.

Es ist \(U\neq V\) wegen

        \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\in U\setminus V\)

Also ist \(\dim U\cap V < 3\).

Die Menge

        \(B\coloneqq \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\}\)

ist eine linear unabhängige Teilmenge von \(U \cap V\). Weil jede echte Obermenge von \(B\), die Teilmenge von \(U\cap V\) ist, linear abhängig ist (zur Erinnerung \(\dim U\cap V < 3\)), ist \(B\) eine Basis von \(U\cap V\).