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Aufgabe:

Sei n ≥ 3 und v1, . . . , vn ∈ Kn eine Basis von Kn.

1. Finden Sie einen Vektor v ∈ Kn, so dass für alle i = 1, . . . , n die Vektoren
v, v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn eine Basis von Kn sind.


2. Finden Sie entweder zwei Vektoren w1, w2 ∈ Kn, so dass für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i < j die Vektoren w1, w2, v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vj−1, vj+1, . . . , vn eine Basis von Kn sind, oder erklären Sie, warum das nicht immer möglich ist.


Problem/Ansatz:

Nr.1: Also ich weiß durchaus das v1, bis , vn eine Basis darstellen somit ist müsste mein v = der fehlende Vektor vi sein oder ? Doch wie würde man diesen berechnen?

Nr. 2: Lass ich noch offen da ich erstmal Nr. 1 verstehen möchte

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1. \(  v=\sum\limits_{k=1}^n v_k \)

Avatar von 289 k 🚀

Könnte ich v dann nicht weglassen ? Fehlt dann nicht trotzdem einer ? Oder liegt das daran das i = 1,....,n ist und somit die vi Vektoren gar nicht relevant sind da die eh nur eine L-Kombination sind?

Es heißt doch:

" ...  die Vektoren v, v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn eine Basis von Kn sind.  "

Das sind ja n Stück; denn du nimmst das neue v und lässt bei den

anderen einen weg, den mit der Nummer i.

D.h. egal welchen du weglässt, die restlichen n-1 Stück und das v

bilden zusammen eine Basis. Und zwar, weil man den weggelassenen

ja durch v - (v1+...+vi-1+vi+1+...+vn) darstellen kann.

Danke dir, hab ich gecket :D

Ist die Lösung bei 2 richtig? : w1 = w2 + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \) und w2 = w1 + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \) @mathef

w1 = w2 + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \) und w2 = w1 + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \)

Die 2. bei der 1. eingesetzt gäbe

==> w1 = w1 + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \) + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \)

==> 0 =  \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \) + \(\sum\limits_{k=1}^n v_k \)

==> 0 =  \(\sum\limits_{k=1}^n 2v_k \) 

im Widerspruch zur lin. Unabhängigkeit der vk .

Ich vermute mal, dass das 2. nicht geht, hab aber so recht kein Argument.

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