Lokalen Extrema über ihrem Definitionsbereich finden: a) f(x,y) = x^2 - xy + y^2 -3y + 5

Question

a) f(x,y) = x^2 - xy + y^2 -3y + 5

b) f(x,y) = (x^3 - 3*x)* (y + 3)+y (y+6)

 

wie bestimme ich das lokalen Extrema  über dem  Definitionsbereich??

 

LG

Answer 1

Hi,

bestimme die Ableitungen:

f_x = 2x-y

f_y = 2y-x-3

 

f_xx = 2

f_yy = 2

f_xy = -1

 

Nun schaue wann

f_x = 0

f_y = 0

(Den Gradienten 0 setzen)

So bestimmst Du die stationären Punkte:

--> x = 1 und y = 2

 

Nun die Hesse-Matrix aufstellen:

fxx	fxy
fxy	fyy

 

2	1
-1	2

Deren Determinante ist positiv und der erste Eintrag f_xx ist ebenfalls positiv --> Es liegt ein Minimum vor.

 

P(1;2) ist ein Minimum.

 

Für den zweiten Teil gehe genauso vor.

Hier habe ich zwei Minima. Bei Q(1,-2) und R(-1,-4)

 

Grüße

Comments

Danke dir.
Ich habe noch eine Frage und zwar kannst du mir sagen wie du auf die stationären Punkte gekommen bist? Irgendwie komme ich nicht auf Sie. Habe es mit dem Einsetzungsverfahren probiert. Habe eine Ableitung nach x umgestellt und in die andere eingesetzt. =/

LG

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f_x = 2x-y = 0

f_y = 2y-x-3 = 0

 

Ersteres nach y auflösen und in letzeres:

2(2x)-x-3 = 0

4x-x-3 = 0

3x = 3

x = 1

Damit wieder in die erste Gleichung:

y = 2

 

Schon hat man seinen stationären Punkt^^.

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Okay, vielen Dank. Ich probiere es gleich nochmal ;)