Trigonometrie sin cos zwei Lösungen bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme das Winkelmaß α. In welchem Fall gibt es zwei Lösungen?
(α ∈ [0° ;180°]).

a) cos (α) = 0,75
b) cos (α) = -0,75
c) sin (α) = 0,9
d) sin (α) = -0,4
e) cos (α) = 0,866
f) cos (α) = -0.866
g) sin (α) = 0,78
h) cos (α) = -0,61

Problem/Ansatz:

Ich bin noch sehr verwirrt bei den Aufgaben mit dem Kosinus (positiv aber vor allem negativ), weil ich nicht weiß, ob ich α₂ bestimmen kann, indem ich 180°- α₁ rechne oder ich beim Kosinus 360°-α₁ rechne.

Hoffe, jemand kann mit da helfen.

Wie ich rechne z.B. a) α₁= 41,41°
α₂= 180°-41,41°°= 138,59°

b)  α₁ =138,59°
α₂= 180-138,59°=41,41°

c) α₁=64,16°
α₂= 115,84°

d) α₁= 23,58°
α2=156,42°

e) α₁=30°
α₂=150°

f) α₁ =150°
α₂= 180-150°=30°

g) α₁= 51,26°
α₂= 128,74°

h) α₁= 127,59°
α₂=52,41°
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War dies richtig gerechnet oder nicht? Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe.

Answer 1

Du sollst untersuchen, ob es im Bereich [0,180°] zwei Lösungen gibt, Zeichne dazu entweder die Kosinus- oder die Sinuskurve in diesem Bereich und zähle die Anzahl der Stellen, an denen der gegebene Wert angenommen wird, Beispiel a)

Comments

Die Kurven haben wir noch nicht gelernt

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Was eine Wertetabelle ist und wie man daraus eine Kurve macht, weißt du sicher.

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In dem Mathebuch ist aber eine rechnerische Lösung erfolderlich

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1. Warum machst Du nicht einfach die Probe mit Deinem Taschenrechner?

2. Irgendwie müsst Ihr ja cos und sin eingeführt haben, vielleicht über den Einheitskreis?

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Du hast bei a) und b) dieselbe Lösung zu verschiedenen cos-Werten (und bei e), f) genauso). Das sollte Dir merkwürdig vorkommen (und dazu muss man gar nichts über cosinus wissen).

Answer 2

Aloha :)

Die Umkehrfunktionen zur Sinus und Cosinus haben unterschiedliche Wertebereiche:$$\arcsin\colon[-1;1]\to\pink{[-90^\circ;+90^\circ]}\quad;\quad\arccos\colon[-1;1]\to\pink{[0;180^\circ]}$$

Beide Wertebereiche decken nicht die vollen \(360^\circ\) eines Kreies ab, sondern jeweils nur den halben Bereich. Daher liefern sie dir immer nur einen Winkel, obwohl es für \(x\in(-1;1)\) immer 2 Winkel gibt. Genau einen Winkel gibt es nur für \(x=\pm1\).

Wie kommst du an den zweiten Winkel?

Dazu kannst du folgende Symmetrien der Winkelfunktionen nutzen:$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)\quad;\quad\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$$

Für die Lösungen heißt das allgemein:$$\sin(\alpha)=x\quad\implies\quad \alpha_1=\arcsin(x)\quad;\quad\color{blue}\alpha_2=180^\circ-\arcsin(x)$$$$\cos(\alpha)=x\quad\implies\quad \alpha_1=\arccos(x)\quad;\quad\color{blue}\alpha_2=-\arccos(x)$$

Aber bitte nicht vergessen, du kannst zu den so ermittelten Winkeln \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) noch beliebig oft \(360^\circ\) addieren oder subtrahieren, denn du kannst ja beliebig oft eine ganze Runde um den Einheitskreis nach links oder nach rechts gehen und kommst wieder an derselben Stelle an.

Answer 3

Habt ihr die Sinus- und Kosinuswerte am Einheitskreis besprochen gehabt.

a) cos(α) = 0,75 --> α = 41.41°
b) cos(α) = -0,75 --> α = 138.59° 
c) sin(α) = 0,9 --> α = 64.16° oder α = 115.84°
d) sin(α) = -0,4 → keine Lösung
e) cos(α) = 0,866 → α = 30.00°
f) cos(α) = -0.866 → α = 150.00°
g) sin(α) = 0,78 → α = 51.26° oder α = 128.74°
h) cos(α) = -0,61 → α = 127.59°

Beobachtung

für den Sinus kann es 1, 2 oder keine Lösungen geben.

für den Kosinus gibt es immer genau 1 Lösung.

Skizze

~plot~ sin(x*pi/180);cos(x*pi/180);[[0|180|-1|1]] ~plot~

Alternativ: Vorstellung am Einheitskreis.