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Wikipedia war nicht hilfreich:

Es gibt zwei Typen von regelmäßigen (=periodischen) dichtesten Kugelpackungen, nämlich die Schichtenfolge AB und die Schichtenfolge ABC. Es geht darum, die Kugeln in umhüllende Polyeder zu verpacken, die dann den Raum lückenlos füllen. Formal kann man die aus Voronoi-Diagrammmen konstruieren: Die betreffenden Polyederflächen müssen offensichtlich auf den Tangentialebenen durch die Berührpunkte von je zwei benachbarten Kugeln liegen.

Eine bestimmte Kugel liegt in einer Schicht einer hexagonalen Schichtung und ist in der symmetrisch von sechs berührenden Kugeln in der gleichen Ebene umgeben. Die zugehörigen Berührflächen des gesuchten Polyeders müssen also in einem regelmäßigen sechsseitigen Prisma ("Honigwabe") enthalten sein. Für die ABC-Schichtung ist das gesuchte Polyeder das Rhomben-Dodekaeder; es besteht aus dem prismatischen Gürtel aus sechs Rhomben und hat oben und unten noch je eine dreizählige "Dachspitze" aus jeweils drei Rhomben, die in die zugehörigen Kugellücken der darunter- und der darüberliegenden Kugelschicht "einrasten".

Aber was für ein Polyeder ist das bei einer AB-Schichtung? Eigentlich sollte bei dem die Dachspitze einfach um 60° gedreht sein und damit die gleiche Ausrichtung wie die Spitze nach unten haben. Da den Polyederteil oberhalb der Mittelebene der Schicht nicht interessiert, wie der untere Polyederteil aussieht, müßte er an sich einfach dadurch entstehen, daß der untere Teil an der Mittelebene gespiegelt wird.

Wenn das so stimmt: Wie heißt das entstehende Polyeder, wie sieht es aus? Mir fehlt dafür leider das Vorstellungsvermögen.

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Zur Unterstützung der Anschauung

https://www.geogebra.org/m/tgmakpjh

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Sorry: Bahnhof...

Die Graphik zeigt die richtige Kugelpackung. Und wo ist nun das (bzw. ein) Polyeder, wie heißt es, wie sieht es aus?

(Habe ich etwas Wesentliches übersehen? Stimmen die Ausführungen in der Aufgabenstellung überhaupt, oder sind da Fehler drin?)

Hilfreich wäre vielleicht die Darstellung eines senkrecht zu einer Raumdiagonalen halbierten Rhombendodekaeders. Dann hat man evtl. auch eine Vorstellung, wie der mit der anderen Hälfte a) "normal" und b) "verdreht" zusammengesetzt aussieht. (Bei mir hakt es schon dabei aus, daß die sechs Rhomben um eine dreiflächige Spitze herum auf dem Mantel eines sechsseitigen Prismas liegen sollen, aber das müßte ja wohl so sein.)

Vielleicht stelle ich mich auch einfach ein bißchen doof an, aber ich habe es z. B. nicht hingekriegt, einen Würfel perspektivisch so darzustellen, daß eine Raumdiagonale in der Zeichenebene liegt. Dann hätte ich den nämlich mit einer Schnittlinie über alle sechs Flächen halbieren und um den Würfel den Rhombendodekaeder zeichnen können, der dann durch die gleiche Schnittebene genauso halbiert wird. Das sollte dann eigentlich klüger hinsichtlich der sich ergebenden sechs Seitenflächen machen. (Die "Dachspitzen" sollten ja wohl weiterhin aus drei Rhomben bestehen, oder...?)

Vielleicht könnte man die Aufgabe auch mit Vektorrechnung "erschlagen": Als erstes gibt man die Gittervektoren der zwölf Nachbarn einer Kugel im Zentrum an. Dann ermittelt man die Vektordarstellung der zwölf Tangentialebenen durch die Berührpunkte. Anschließend bestimmt man die sich ergebenden Schnittlinien der Ebenen und daraus die begrenzende Polygone, und damit bekommt man die Ecken des Polyeders. Das sieht nur fürchterlich umständlich aus, wo es doch wahrscheinlich eine intuitiv einleuchtende geometrische Konstruktion gibt...

Nun, das kannst du ja mal suchen - schalte die Kugeln weg und betrachte die Lage der Mittelpunkte

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M1,M2,M3,M4 bliden einen Tetraeder und auf jeder Seite sitzt wieder ein Tetraeder

Ja, danke, das ist richtig, daß das Zentrum mit benachbarten Kugelmitten Tetraeder bildet. Aber damit hat man nicht das bzw. die gesuchten einhüllenden Polyeder. Deren Flächen müssen nämlich diese Vektoren zu den benachbarten Zentren jeweils orthogonal halbieren. Bei der ABC-Schichtung sind diese Polyeder offenbar Rhomben-Dodekaeder. Und bei der AB-Schichtung?

(Wobei ich wegen der Tetraeder jetzt auch ein bißchen ins Grübeln komme: Mit Tetraedern kann man nämlich den Raum nicht ausfüllen - und diesbezüglich irrte schon Aristoteles, der das Gegenteil behauptet hatte. Ich sehe gerade bei jedem Zentrum acht Tetraeder mit den Spitzen zum Zentrum (nachrechnen: Jeder Tetraeder hat an der Grundfläche drei Ecken, macht zusammen 8*3=24 Ecken. Jede der Ecken wird aber von je zwei der umgebenden Kugeln gemeinsam verwendet, also kommen richtig 24/2=12 umgebende Kugeln heraus). Acht Tetraeder stimmt also, aber die bilden mit ihren Spitzen keinen raumfüllenden Vollwinkel, sondern dazwischen verbleiben Lücken. Aber das gehört nicht zur Fragestellung und trägt zur Antwort auch nichts bei.)

Übrigens nicht nur Tetraeder. Es gibt um ein Zentrum herum acht Tetraeder und sechs vierseitige Pyramiden.

Das gesuchte Polyeder ist anscheinend der Dualkörper des Disheptaeders. (Und wie sieht der aus?)

Aus Pyramiden und Tetraedern lassen sich Dreieckskuppeln (s. Wikipedia) zusammensetzen, und aus zweien davon das Kuboktaeder oder das Disheptaeder (Antikuboktaeder). Das Rhombendodekaeder ist der Dualkörper des Kuboktaeders und als Parkettierungselement raumfüllend; für den Dualkörper des Disheptaeders.unbekannten Namens müßte das auch der Fall sein.

Das: https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezo-rhombic_dodecahedron ist es übrigens. Wie heißt das auf Deutsch?

https://de.wikibrief.org/wiki/Trapezo-rhombic_dodecahedron

vielleicht kann man das in dem Gitter wiederfinden, wenn man weiß, was man sucht ;-)?

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