Veranschaulichen sie die Lösbarkeit der dioph. Gleichung in Geogebra

Question

Aufgabe:

Veranschaulichen Sie die Lösbarkeit der linearen diophantischen Gleichung \( a x+b y=c \). Ihre Lösung soll die folgenden Elemente beinhalten:
(a) Drei Schieberegler für die Koeffizienten \( a, b \) und \( c \) im Bereich von -25 bis 25 .
(b) Ein weitmaschiges Koordinatengitter.
(c) Die Gerade \( a x+b y=c \) für reelle \( x \) und \( y \).
(d) Die ganzzahligen Punkte auf der Geraden (d.h. die Lösungen der diophantischen Gleichung) im Bereich von -70 bis 70 .

Hinweis: Erstellen Sie mit Hilfe von Folgen alle ganzzahligen Punkte \( (x, y) \in \mathbb{Z}^{2} \) mit \( -100 \leq x, y \leq 100 \). Wählen Sie davon dann diejenigen aus, die auf der Gerade liegen. Hierfür können die Befehle Reduzieren und BehalteWenn sinnvoll sein. Informieren Sie sich außerdem, wie Sie die \( \mathrm{x} \) - bzw y-Koordinate eines Punktes erhalten.
(e) Eine Visualisierung der Tatsache, dass die Lösung der diophantischen Gleichung \( a x+b y=c \) äquidistante Punkte auf der Geraden sind.

Hinweis: Sie können z.B. eine Art "Steigungsdreieck" (d.h. eine horizontale und eine vertikale Strecke) zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Punkte zeichnen. Informieren Sie sich dafür, wie Sie einzelne Elemente einer Folge ansteuern können und wie Sie die Länge einer Folge erhalten.
(f) Ein dynamischer Text, der je nach Wahl der Koeffizienten \( a, b \) und \( c \) anzeigt, ob die diophantische Gleichung keine oder unendlich viele Lösungen hat.

Hinweis: Erstellen Sie zwei Texte (einen, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat und einen, dass die Gleichung keine Lösungen hat) und lassen Sie je nach Wahl von \( a, b, c \) nur den richtigen anzeigen.
(g) Gestalten Sie Ihre Datei visuell ansprechend.
Ihr Ergebnis sollte in etwa wie folgt aussehen:

Die Schieberegler erstellen und das weitmaschige Gitter auch, die Gerade ax+by=c kann ich auch eingeben. Danach bin ich ratlos

Comments

Sind die Forderungen nach einem weitmaschigen Koordinatengitter und dem doch recht umfangreichen Definitionsbereich nicht irgendwie widersprüchlich ?

Ich habe z,B. keinen sooo großen Bildschirm ...

Answer 1

Ich würde das etwas direkter formulieren, 100 x 100 ist eine Menge Zeugs das auch noch gefiltert werden muß?

Stelle die Geradengleichung um nach y:

Y(x):=(-a x + c) / b

Zeiche die Gerade als Liste

L_{x,y}=Sequence((i, Y(i)), i, -100, 100)

Lösungen

L= (KeepIf(floor(y(XY)) == y(XY), XY, L_{x,y}))

Steigungsdreiecke

slopeΔ=Sequence(Polyline(L(k), (x(L(k - sgn(b) sgn(a))), y(L(k))), L(k - sgn(b) sgn(a))), k, 1, Length(L) - 1)

ggf müsste man senkrechte (b=0) als besonderen Fall behandeln?

Comments

Ich hab es jetzt soweit, allerdings komme ich bei (f) nicht mehr weiter.
d soll der ggT(a,b) sein. Habe dann einen Wahr-Falsch-Bericht gemacht, wenn der ggT=1 ist.
Wollte dann mit der Wenn Funktion mit als Text anzeigen lassen, wie es auf dem Beispielbild oben Ist.
Wenn(True,Text2,Text3), allerdings klappt das nicht und er zeigt immer Text2 an.
Und dann ist mir eben noch eingefallen, es gibt ja auch Teiler von C, die nicht nur eins sind. Wie z.B. a=2,b=10,c=6
ggt(2,10)=2 und 2 ist ein teiler von 6. Das müsste ich auch noch in den Wahr-Falsch Bericht miteinbeziehen

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Okay habe meinen Fehler gefunden, es muss Wenn(e,Text2,Text3) sein. Allerdings ist es nur wenn der ggT=1 ist und nicht wenn es auch ein Teiler von c ist

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Statt True in dem Wenn() muss die Lösbarkeitsbedingung stehen, also so was wie

Mod(c, GCD(a, b)) == 0

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Es ist auch richtig, dass mir die Steigungsdreiecke nur angezeigt werden, wenn es unendlich viele Lösungen gibt oder?

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Ja, dann ist die Liste der Punkte fürs Steigungsdreieck LEER, weil L LEER ist, wenn Du nach meinen Post gearbeitet hast....

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Habe ich gemacht, funktioniert jetzt auch alles. Vielen Dank

Answer 2

Erstellen Sie mit Hilfe von Folgen alle ganzzahligen Punkte \( (x, y) \in \mathbb{Z}^{2} \) mit \( -100 \leq x, y \leq 100 \).

alleSpalten = Folge(Folge((c,r),r,-100,100),c,-100,100)

Jetzt hast du eine Folge von Folgen mit Punkten.

{
    {(-100,-100), ..., (-100, 100)},
    {(-99,-100), ..., (-99, 100)},
    ...,
    {(100,-100), ..., (100, 100)}
}

Mit Reduzieren machst du daraus eine Folge von Punkten {(-100,-100), ..., (100,100)}.

Mit BehalteWenn kannst du daraus die Punkte auswählen, die die Gleichung erfüllen. Achte darauf, in der Bedingung == für den Vergleich zu verwenden.

Comments

alleSpalten = Folge(Folge((c,r),r,-100,100),c,-100,100)

Gebe ich das ein, hängt auch GeoGebra bei mir auf. Oder lädt es einfach nur die ganzen Punkte und ich muss warten?

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Musste nur warten.

Habe dann l=Reduzieren(alle Spalten). Wie mache ich dann die BehalteWenn Bedingung?