Partielle Ableitung und Betrag unter der Wurzel

Question

Aufgabe:

Hallo

bei folgender Aufgabe würde es mich freuen, wenn es jemand korrekturlesen könnte. (Wolframalpha etc waren da nicht soo hilfreich)

Gesucht ist : \( \frac{del f}{del x} \)

f(x) = \( \sqrt{|x||y|} \)

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f(x) & =\sqrt{\sqrt{y^{2}}} \cdot \sqrt{\sqrt{x^{2}}} \quad \text { (Fahtorreque) } \\ f^{\prime}(x) & =\sqrt{|y|} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^{2}}} \cdot \frac{1 \cdot 2 x}{2 \sqrt{x^{2}}} \text { (Vuttenrequl) } \\ & =\sqrt{|y|} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{|x|}} \cdot \frac{x}{|x|}\end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

LG

Comments

Kennst du dieses Programm:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Wie ist es denn für \(y\neq 0\) und \(x=0\) ?

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Nein. Ich hab das jetzt lieber über den Differentialquotienten gemacht....

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Nein. Ich hab das jetzt lieber über den Differentialquotienten gemacht....

Bezieht sich das auf den Kommentar von ggT?

Die von dir angegebene Ableitung ist für \(y\neq 0\) und \(x=0\)
nicht definiert !

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https://www.wolframalpha.com/input?i=d%2Fdx+%28sqrt%28%7Cx%7C*%7Cy%7C%29

Answer 1

Aloha :)

Da wir partiell ableiten sollen, betrachten wir \(y\) als Konstante.

$$f(x;y)=\sqrt{|x||y|}=\sqrt{|y|}\cdot\sqrt{|x|}=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{|y|}\cdot\sqrt x & \text{für }x\ge0\\[1ex]\sqrt{|y|}\cdot\sqrt{-x} & \text{für }x<0\end{array}\right.$$

Für \(x>0\) und \(x<0\) sind die Ableitungen klar:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{|y|}\cdot\frac{1}{2\sqrt x} & \text{für }x>0\\[1ex]\sqrt{|y|}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{-x}} & \text{für }x<0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{|y|}\cdot\frac{\sqrt x}{2x} & \text{für }x>0\\[1ex]\sqrt{|y|}\cdot\frac{\sqrt{-x}}{2x} & \text{für }x<0\end{array}\right.$$

Zusammengefasst heißt das:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=\frac{\sqrt{|y||x|}}{2x}\quad\text{für }x\ne0$$

An der Stelle \(x=0\) ist die Funktion nur für \(y=0\) partiell differenzierbar.

Comments

Könnte man dann nicht theoretisch eine dritte Fallunterscheidung machen, in der dann die Funktion für x=0 gleich 0 ist und somit die Ableitung von diesem Fall , wenn differenzierbar, gleich die Konstante C ist?