Aloha :)
Da wir partiell ableiten sollen, betrachten wir \(y\) als Konstante.
$$f(x;y)=\sqrt{|x||y|}=\sqrt{|y|}\cdot\sqrt{|x|}=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{|y|}\cdot\sqrt x & \text{für }x\ge0\\[1ex]\sqrt{|y|}\cdot\sqrt{-x} & \text{für }x<0\end{array}\right.$$
Für \(x>0\) und \(x<0\) sind die Ableitungen klar:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{|y|}\cdot\frac{1}{2\sqrt x} & \text{für }x>0\\[1ex]\sqrt{|y|}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{-x}} & \text{für }x<0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{|y|}\cdot\frac{\sqrt x}{2x} & \text{für }x>0\\[1ex]\sqrt{|y|}\cdot\frac{\sqrt{-x}}{2x} & \text{für }x<0\end{array}\right.$$
Zusammengefasst heißt das:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=\frac{\sqrt{|y||x|}}{2x}\quad\text{für }x\ne0$$
An der Stelle \(x=0\) ist die Funktion nur für \(y=0\) partiell differenzierbar.
