Grenzwert berechnen x gegen pi

Question

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \pi} \; \frac{\sin (x) \cdot \cos (x)}{e^{x} \cdot \sin (2 x)} \\\\ \lim \limits_{x \rightarrow \pi} \; \frac{-\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)}{e^{x}(\sin (2 x)+2 \cdot \cos (2 x))} \\\\ =\frac{-0,472}{46,281}=0,0102  \)

Guten Morgen, stimmt die Lösung so? Kommt mir irgendwie falsch vor. Viele Grüße

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Kommt mir irgendwie falsch vor.

Das ist eine irgendwie schwierig nachvollziehbare Begründung.

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Im Nenner fehlt e^x nach der 2.

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%28sinx*cosx%29%2F%28e%5Ex*sin%282x%29%29+x+to+pi

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e^x habe ich doch ausgeklammert

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ex habe ich doch ausgeklammer

Ich habe die 1.Klammer übersehen. Sorry.

Besser wären 2 oder eine eckige.

Answer 1

\(\displaystyle  \frac{-\sin ^{2}(\pi)+\cos ^{2}(\pi)}{e^{\pi}(\sin (2 \pi)+2 \cdot \cos (2 \pi))} \\\\ =\frac{-0^2+(-1)^2     }{ e^\pi(0 +2\cdot1) }  \\ = \frac{1}{2e^\pi}   \approx 0,0216  \)

Answer 2

stimmt die Lösung so?

Nein.

Und die Gleichung auf der letzten Zeile kann schon alleine wegen des Vorzeichens nicht stimmen.

Ich komme auf einen Wert von \(\displaystyle \frac{1}{2e^\pi} \)

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Magst du mir deinen Rechenweg zeigen?

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siehe Antwort von Nudger: Additionstheorem und dann kürzen

Answer 3

Keine Ahnung, wie du auf diese falschen Zahlen kommst. Und mit = stimmt es sowieso nicht. Ergebnis immer exakt darstellen, also mit e, pi und Brüchen.

Das ganze geht auch ohne l'Hospital, wenn man direkt am Anfang kürzt (Additionstheorem für sin(2x)).

Dein Rechenweg ist übrigens richtig, nur das Ausrechnen am Ende nicht.

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Dein Rechenweg ist übrigens richtig, nur das Ausrechnen am Ende nicht.

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wie rechne ich das denn aus?

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Eben gar nicht mit dem TR, wie oben gesagt. \(\pi\) einsetzen, Werte von \(\sin,\cos\) dazu solltest Du kennen, zusammenfassen, fertig.

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wie rechne ich das denn aus?

Lies meinen Kommentar, der nun eine Antwort ist.

:-)

Answer 4

\(\displaystyle \lim\limits_{x\toπ} \frac{sin(x)*cos(x)}{e^{x}*sin(2x)}=\lim\limits_{x\toπ} \frac{sin(x)*cos(x)}{e^{x}*2*sin(x)*cos(x)}=\lim\limits_{x\toπ} \frac{1}{2*e^{x}}=\frac{1}{2*e^{π}}\)