Wie bestimme ich nährungsweise die Nullstelle der Funktion f?

Question

Aufgabe:

Bestimme nährungsweise die Nullstelle der Funktion f mit f(x) = x-2 + e^x auf vier Dezimalen genau.

Comments

Soll das hier eine andere Funktion sein als  f(x) = e^x-x-2     ?

Answer 1

Das funktioniert z.B mit dem Newton-Verfahren zum Finden einer Nullstelle:

Sei x_n eine Zahl in der Nähe der Nullstelle, dann ist x_n+1, das definiert ist durch

x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

eine bessere Näherung der Nullstelle.
Man beginnt nun also mit einem geratenen Wert x₀ und führt dann sooft die Näherungsformel aus, bis sich die Zahl in den ersten vier Stellen nicht mehr unterscheidet. (Das geht bei diesem Verfahren recht schnell.)

Da f(0) = -1 und f(1)=e-1 ≈1.7 gilt, liegt die Nullstelle zwischen 0 und 1, wählen wir einfach mal x₀=0 als Startwert.

Dann brauchen wir außerdem noch die erste Ableitung, die ist

f'(x) = 1+e^x

Dann erhalten wir für den ersten Näherungswert:

x₁ = 0 - f(0)/f'(0) = -(-1)/2 = 0.5

x₂ = 0.44385...
x₃ = 0.44285...
x₄ = 0.44285...

(Tatsächlich stimmen x₃ und x₄ bereits bis zur 7. Stelle hinter dem Komma überein.)

Die Nullstelle ist also ungefähr

x = 0.4429