Waagerechte Tangenten in trigonometrischer Funktion: f(x) = 2sin(x)+x-1

Question

weiß jemand wie ich von der Funktionsgleichung  f(x)=2sin(x)+x-1  [0;7] die waagerechten Tangenten bestimmen kann?

Es gibt einen Hoch und einen Tiefpunkt in dem Intervall.

Den Tiefpunkt konnte ich ausrechnen mit f'(x)=0

für x hab ich dann 2pi/3 raus. Das stimmt auch soweit.

Doch wie bekomm ich den Hochpunkt dann raus?

Ich rätsel da schon seit Stunden rum :/

Gruß

Cappuccino90

Answer 1

Hi,

überlege Dir (vllt auch mit Tablle bzw. Einheitskreis), wann der cos(x) noch den Wert -1/2 annimmt.

Das ist außerdem für x = 4/3π der Fall.

 

Grüße

Comments

Laut meinem Taschenrechner ist das falsch. Hast du meine Funktion mal in einen Taschenrechner eingegeben?

Wenn die Welle parallel zur x-Achse verlaufen würde, dann wären die x-Werte der Extrempunkte, Wendepunkte und Nullstellen immer in gleichen Abständen. Das weiß ich.

Aber bei meiner Aufgabe ist es ein spezieller Fall den ich ums Verrecken nicht lösen kann :/

Weil hier entfernt sich meine Funktion immer weiter von der x-Achse wenn man sich es mal zeichnen lässt.

~plot~ 2sin(x)+x-1 ~plot~

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@unknown

" wann der cos(x) noch den Wert 1/2 annimmt. " .
Das ist falsch. Korrekt : Der Wert ist  -1/2.

mfg Georg

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@Cappuccino:

Mit f(x) = 2sin(x)+x-1

musst Du die Ableitung bilden um die Steigung 0 zu finden -> Die Extrema

f'(x) = 2cos(x)+1 = 0

Das ist für cos(x) = -1/2 der Fall.

Demnach für x₁ = 2/3π und x₂ = 4/3π (hatte mich hier vertan).
Damit nun alles klar? Wir haben die Stellen gefunden, an denen die waagerechten Tangenten anliegen. Nur noch den y-Wert bestimmt in dem man die Werte in f(x) einsetzt und schon hat man die Gleichung der Tangente (die ja nur aus dem y-Wert besteht).

 

@Gerog:

Mein Dank gebührt mal wieder Dir. War wohl so spät, dass ich vor lauter zusammengekniffenen Augen das Minus nicht mehr mitgenommen hatte :D.

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@unknown
Falsch : " Demnach für x₁ = 2/3π und x₂ = -4/3π (hatte mich hier vertan). "
Richtig wäre : x₂ = 4/3π
Oben in deiner Antwort hast du es richtig angeführt.
Bin auch nicht fehlerfrei. Ich hatte die Fragestellung bei meiner
Antwort vergessen " die waagerechten Tangenten zu bestimmen ".
Das hast du vollständigerweise angeführt.

  mfg Georg

Answer 2

Hallo Cappuccino90,

 f ( x ) =2 * sin ( x ) + x - 1
 f ´ ( x ) = 2 * cos ( x ) + 1
 2 * cos ( x ) + 1 = 0
 cos ( x ) = -1/2

  Jetzt zeichne dir die cos-Funktion auf und schau
nach wann cos ( x ) = -1/2 ist. Du siehst 2 x - Stellen.
Mein Matheprogramm liefert mit die Ergebnisse
x = 2/3 * π und x = 4/3 * π ( oder x = 2.09 und x = 4.19 ).

Das wars.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Comments

Hallo Cappuccino90,

  ich hatte die Beantwortung deiner Frage
" wie kann ich die waagerechten Tangenten bestimmen " nicht
vollständig beantwortet.

  Ich setze die gefundenen x - Werte in die Ausgangsfunktion ein

f ( 2/3 * π ) = 2 * sin ( 2/3 * π ) +( 2/3 * π ) - 1 = 2.826
f ( 4/3 * π ) = 2 * sin ( 4/3 * π ) +( 4/3 * π ) - 1 = 1.457

Da es sich um waagerechte Tangenten handelt sind die Funktionen

y = 2.826
y = 1.457

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Das ist glaube ich soweit die beste Methode für meine Zwecke. Doch auch hier les ich wieder nur von der gezeichneten Funktion ab.
Ich hatte gehofft, da gibt es halbwegs für mein Niveau durchführbare Rechenwege ohne überhaupt von der Zeichnung abzulesen.

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Wo bleiben meine Manieren ^^ Vielen herzlichen Dank Georg und unknown. Für meine Hausarbeit reichen die Erkenntnisse soweit. Für mein persönliches Interesse will ich wissen, wie man es ablesen herausfindet.
Gruß

Cappuccino90

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ohne zeichnung oder ablesen aus einer zeichnung

cos ( x ) = -1/2

arccos(cos(x)) = arccos(-1/2)
x = arccos(-1/2)

Der Taschenrechner gibt nur 1 Ergebnis aus.

Ein Matheprogramm zeigt das Ergebnis
2/3 * π + 2 * π * k und
4/3 * π + 2 * π * k
k ∈ ℤ

Hast du dein Ergebnis  2/3 * π selbst hergeleitet ?

mfg Georg

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Ja georgborn, das hab ich selbst hergeleitet. mir ging es auch nur drum das 2. ergebnis zu bekommen ohne abzulesen. das erste war kein problem.

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Dann würde ich gern wissen wie. mfg Georg

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genau so wie du. 1. ableitung gleich 0 gesetzt und aufgelöst. am ende steht cos(x)= -0,5 und das sind aufgelöst sind x=2,094(grob) durch eine wertetabelle oder rumprobieren sieht man schnell dass 2,094 gleich 2pi/3 sind

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" x = 2.094  ( Taschenrechner ) und dann durch ... rumprobieren sieht man schnell dass
2,094 gleich 2pi/3 sind."    ABGELEHNT.
Zitat " da gibt es halbwegs für mein Niveau durchführbare Rechenwege ".
Wenn du selbst sagst willst du berechnen warum arccos(-1/2) = 2*PI/3 ist.

  Das wüßte ich auch gern. Vielleicht gibt es in diesem Forum ja noch
einen Fachmann der uns das herleiten kann.

  mfg Georg