Bestimmen Sie die Länge des Funktionsgraphen von

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Länge des Funktionsgraphen von
\( 2 \cdot\left(e^{x / 4}+e^{-x / 4}\right) \)
über dem Intervall \( [-2,2] \).

Problem/Ansatz:

Leider bekomme ich bei der Aufgabe das Integral nicht gelöst. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Länge des Graphen der Funktion$$f(x)=2\left(e^{x/4}+e^{-x/4}\right)$$über dem Intervall \([-2;2]\) berechnen wir folgendes Integral. Der pinke Teil ist nur ein Zwischenschritt, den man im Kopf macht, ich habe ihn nur der Klarheit wegen aufgeschrieben:

$$\ell=\int\limits_{-2}^2\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}dx=\int\limits_{-2}^2\sqrt{1+\left[\frac12\left(e^{x/4}-e^{-x/4}\right)\right]^2}dx$$$$\phantom\ell=\frac12\int\limits_{-2}^2\sqrt{4+\left(e^{x/4}-e^{-x/4}\right)^2}dx=\pink{\frac12\int\limits_{-2}^2\sqrt{4+\left(e^{x/2}-2+e^{-x/2}\right)}dx}$$$$\phantom\ell=\pink{\frac12\int\limits_{-2}^2\sqrt{\left(e^{x/2}+2+e^{-x/2}\right)}dx}=\frac12\int\limits_{-2}^2\sqrt{\left(e^{x/4}+e^{-x/4}\right)^2}dx$$$$\phantom\ell=\frac12\int\limits_{-2}^2\left(e^{x/4}+e^{-x/4}\right)dx=2\left[e^{x/4}-e^{-x/4}\right]_{-2}^2$$$$\phantom\ell=2\left(\sqrt e-\frac{1}{\sqrt e}\right)-2\left(\frac{1}{\sqrt e}-\sqrt e\right)=4\sqrt e-\frac{4}{\sqrt e}=\frac{4(e-1)}{\sqrt e}$$

Answer 2

e^(x/4) -> 4*e^(x/4)

e^(-x/4) -> -4*e^(-x/4)

F(x) = 2*4*(e^(x/4)- e^(-x/4)) +C = 8*e^(-x/4)*(e^(x/2)-1)

Es gilt:

f(x) = a*e^(bx) -> F(x) = a/b* e^(bx)

Answer 3

f(x) = 4·cosh(x/4)

f'(x) = sinh(x/4)

Ich empfehle die Verwendung von https://www.integralrechner.de/ zur Hilfe oder Selbstkontrolle.

Comments

Die Formel lautet ja, damit bekomme ich die Aufgabe nicht gelöst

\( s=\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x \)

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Du siehst die Formel in dem Angefügten Screenshot. Die Seite berechnet dir die Stammfunktion mit Erklärung und bestimmt das bestimmte Integral. Solltest du darüber hinaus einen Schritt nicht verstehen melde dich gerne nochmals unter der Angabe was du genau nicht verstehst.

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Ich verstehe nicht, wie ich die gegebene Funktion, vereinfache in die Funktion die ganz oben bei deiner Lösung steht.

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Ich verwende nur die Definition vom cosh(x)

cosh(x) = 1/2·(e^x + e^{-x})

4·cosh(x/4) = 4·(1/2·(e^{x/4} + e^{-x/4})) = 2·(e^{x/4} + e^{-x/4})

Das war doch genau deine Funktion. Nur eben schöner geschrieben.

Das erspart dir dann eigentlich nur viel Schreibarbeit, wenn du diese Definition verwendest.