Logarithmus Regeln beweisen

Question

Hallo,

Ich habe gerade Logarithmus in der Schule und um es besser zu verstehen, versuche ich die Gesetze zu beweisen. Meine Frage ist: wie kann man beweisen, dass a^(log_ab)=b? Ich hab im Internet schon ziemlich lang gesucht, aber ich habe keinen Beweis dafür gefunden, nur dass es so ist.

Vielen Dank für Antwort!

Answer 1

Da wirst Du auch keinen Beweis finden, denn das ist die Definition des logarithmus.

Heißt: \(\log_a b\) ist per Definition die Zahl, für die \(a^{\log_a b}=b\) gilt.

Hier wird also \(\log_ab\) neu eingeführt, also definiert.

Comments

Ok vielen Dank! Also das heißt man kann nicht herausfinden wieso das so ist? Tut mir leid, falls das nervig ist, ich bin nur ein bisschen verwirrt.

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Doch, es ist klar, warum das so ist: weil es ein neuer Begriff ist. Und neue Begriffe müssen erst erklärt werden.

Beispiel Taufe: "ich taufe Dich auf den Namen Markus". Frage: Aber wieso heißt das Kind Markus, und nicht Thomas? Antwort: Wir nennen es halt so, das soll sein Name sein.

Kannst Du "herausfinden", warum Du mit Vornamen so heißt, wie Du heißt? Verstehst Du die Analogie?

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Ja ich verstehe es jetzt (zumindest ansatzweise) (: Dankeschön!

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Es gab früher noch keinen Namen für die Zahl, für die \(a^?=b\) gilt. Daher musste man einen neuen finden. In diesem Namen sollte auch \(a\) und \(b\) drin vorkommen, denn davon hängt diese Zahl ja ab. Dann hat man es eben \(\log_a b\) genannt. Genauso gut hätte man sie auch \(otto(a,b)\) nennen können, aber dazu ist es heute zu spät, weil die Zahl international überall \(\log_a b\) heißt.

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Ja Dankeschön! Ich habs jetzt grad verstanden! Hat mir sehr geholfen!

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auch \(otto(a,b)\) nennen können,

Das gefällt mir. Dann aber bitte

\(\operatorname{otto}(a, b)\)

☺

Answer 2

Hallo,

zu einer Exponentialgleichung gehört eine Logarithmusgleichung.

\(a^x=b ~~~;~~~x=\log_a b\)

Wenn du jetzt den rechten Term für x in den linken einsetzt, erhältst du deine Gleichung.

Warum ist das so?

Um quadratische Gleichungen zu lösen, wurden Quadratwurzeln eingeführt.

Um Gleichungen mit x im Exponenten zu lösen, wurden Logarithmen eingeführt. Warum so ein komplizierter Begriff gewählt wurde, ist mir auch ein Rätsel. Man hätte stattdessen ja auch "Birne" sagen können. ☺

Comments

Vielen Dank! Aber kann man dann nicht alles für x einsetzen? Also irgendjemand hat sich einfach gedacht, dass man das einsetzen muss, damit die Gleichung stimmt, oder?

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Oha, ich hab es jetzt gerade verstanden! Noch mal vielen Dank!