Aufgabe:
ich behandle derzeit das Brachistochronenproblem und habe bereits mithilfe der Euler Lagrange Gleichung eine optimale Lösung hergeleitet. Die Funktion der Brachistochrone ist folgende:
$$\tfrac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{x_{b}}\tfrac{\sqrt{1+(y'(x))^2}}{\sqrt{y(x)}}dx$$
Nun soll ich die als g bezeichnete Gravitation außerdem von x abhängig machen und die ELG auf die Funktion anwenden. Ich habe dies mit meiner Betreuerin besprochen und sie sagte Folgendes:
$$\tfrac{d}{d\varepsilon}J(\varepsilon)\big|_{\varepsilon=0}=\tfrac{d}{d\varepsilon}J(y(x)+ \varepsilon \varphi(x)) \big|_{\varepsilon=0}$$$$=\tfrac{d}{d\varepsilon}\int_{a}^{b}F(x,y(x)+ \varepsilon \cdot \varphi(x), y'(x)+ \cdot \varepsilon\varphi (x))dx \bigr|_{\varepsilon=0}$$$$=\int_{a}^{b}\tfrac{d}{d\varepsilon}F(x,y(x)+ \varepsilon \cdot \varphi(x), y'(x)+ \varepsilon \cdot \varphi (x))dx \bigr|_{\varepsilon=0} \\ =\int_{a}^{b}\bigl( \underbrace{\tfrac{dF}{dx} \cdot \tfrac{dx}{d \varepsilon}}_{=0} + \tfrac{dF}{dy} \cdot \underbrace{\tfrac{d}{d \varepsilon}(y(x)+\varepsilon \varphi(x)}_{=\varphi(x)}+\tfrac{dF}{dy'} \cdot \underbrace{\tfrac{d}{d \varepsilon}(y'(x)+\varepsilon \varphi'(x)) \bigr)}_{=\varphi'(x)}dx \bigr|_{\varepsilon=0}\\ =\int_{a}^{b}\bigl( \tfrac{dF(...)}{dy}\cdot \varphi(x)+ \tfrac{dF(...)}{dy'} \cdot \varphi'(x) \bigr)dx \\ =\int_{a}^{b} \tfrac{dF(...)}{dy}\cdot \varphi(x)dx + \int_{a}^{b}\tfrac{dF(...)}{dy'} \cdot \varphi'(x)dx$$
Es handelt sich hierbei um die Herleitung der ELG. Bis zum letzten Ausdruck hätte ich keine Probleme, die ELG ähnlich herzuleiten. Aber wenn ich den nächsten Schritt zu
$$= \int_{a}^{b} \tfrac{dF(...)}{dy} \cdot \varphi(x) + \underbrace{\big[\tfrac{dF(...)}{dy'} \cdot \varphi(x)\big]_{a}^{b}}_{=0, \ da \ \varphi(a)=\varphi(b)=0}-\int_{a}^{b}\tfrac{d}{dx} \cdot \tfrac{dF(...)}{dy'} \cdot \varphi(x)dx$$
machen würde, würde sich meine ELG verändern. Das einzusetzende Funktional wäre hier
$$\tfrac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{x_{b}}\tfrac{\sqrt{1+(y'(x))^2}}{\sqrt{y(x)g(x)}}dx$$
Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht, wie sich beim letzten Schritt die ELG verändern beziehungsweise die ELG überhaupt verändern sollte. Denn bei der Herleitung betrachte ich ja ausschließlich eine Funktion, welche von x und y(x) abhängig ist. Welche Veränderung sehe ich also nicht? Oder irrt sich am Ende sogar meine Betreuerin? Ich bin gespannt auf eure Ansätze.
Ich hoffe, die minimalistische Einführung stört nicht, entscheidend ist ja der Übergang vom vorletzten zum letzten Ausdruck der Herleitung mit dem neuen Funktional. Sollte irgendeine Variable unklar sein, schreibt es bitte. Eventuell wird dieses Problem auch bei Mathe*oard gepostet, ist aber noch nicht raus.
Danke für alle Ansätze!
