Bestimme die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen MAX MIN

Question

Aufgabe:

Es seien X1, . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit zugehörigen Verteilungsfunktionen FX1, . . . , FXn.
Man bestimme die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen

Y := max(X1, . . . , Xn) und Z := min(X1, . . . , Xn).

Problem/Ansatz:

In unserem script steht nichts dazu und im Internet werde ich auch nicht fündig, irgendwelche Tips oder beispiele?

Vielen Dank im voraus.

Comments

Stichwort Funktion und Transformation Mehrdimensionaler ZV

https://statistik.econ.kit.edu/download/Wahrscheinlichkeitstheorie13.pdf

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Mehrdimensionale Zufallsvariablen haben einen Wertebereich in \(\mathbb{R}^n\). Diese offensichtlich in \(\mathbb{R}\).

Answer 1

Es gilt:$$F_Y(x)=P(\max(X_1,...,X_n)\leq x)=P(X_1\leq x \, \land \, X_2\leq x \, \land \, \cdots \land X_n\leq x) \\=P(X_1\leq x)\cdot \ldots \cdot P(X_n\leq x)$$ Das Maximum der \(X_i\) ist also kleiner gleich \(x\), wenn jedes der \(X_i\leq x\).

Und weiter:$$F_Z(x)=P(\min(X_1,...,X_n)\leq x)=1-P(\min(X_1,...,X_n)\geq x) \\=1- P(X_1\geq x \, \land \, X_2\geq x \, \land \, \cdots \land X_n\geq x)\\=1-P(X_1\geq x)\cdot \ldots \cdot P(X_n\geq x)$$ Das Minimum der \(X_i\) ist größer gleich \(x\), wenn alle \(X_i\) größer gleich \(x\) sind. Das sind die ä u ß e r e n Fälle der Ordnungsstatistik.

Comments

aus \( x\) ist bei dir ab der zweiten Zeile scheinbar \(n\) geworden.

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Hab ursprünglich mit \(n\) angefangen, dann aber, weil \(F(n)\) ungewohnt aussieht und die ZV nicht diskret sind, \(x\) gewählt und vergessen, das konsequent auszutauschen. Danke für den Hinweis.

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müsste es bei F_z(x) bei dem Übergang zur Komplementärwahrscheinlichkeit nicht echt größer sein?

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Ja, da hast Du recht. (Der Unterschied macht sich "nur" bri diskreten ZV bemerkbar. )