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Aufgabe:

Hallo zusammen, : )

ich komme gerade bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter, und ich wollte fragen, ob mir jemand vielleicht ne Idee geben kann, wie ich diese Aufgabe lösen soll.

Nun zur Aufgabe:

blob.png

Text erkannt:

Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset(0, \infty) \) eine Folge positiver reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=1 \Longleftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-1}{a_{n}+1}=0 . \)



Problem/Ansatz:

Die Hinrichtung (von lim an = 1) ist absolut klar und da habe ich überhaupt keine Fragen dazu.

Aber die Rückrichtung , wo man mit lim = 0 anfangen soll , ist mir nicht ganz bewusst.

Meine Idee wäre es gewesen erstmal zu zeigen, dass der Limes von an  ungleich 1 ist, sodass ich dann nur noch mit ein bisschen umformen dann schon fertig wäre.


Ich hoffe sehr ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schon ein Mal im Voraus!

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Beste Antwort
Aber die Rückrichtung , wo man mit lim = 0 anfangen soll , ist mir nicht ganz bewusst.

Ein Bruch (besser: eine Folge von Brüchen) kann nur dann gegen 0 gehen, wenn (nach eventuellem Kürzen) der Zähler gegen 0 geht und der Nenner nicht.

Avatar von 55 k 🚀

Danke für den Tipp! Jetzt habe ich es!

Manchmal muss man sich so was leichtes erst mal bewusst machen, um solche Aufgaben lösen zu können

Das obige ist eine Faustregel, die man benutzen kann, wenn sie in der Vorlesung dran war. Um das zu beweisen müsste man schon noch einige Fälle durchspielen (\(a_n\) beschränkt?).

+2 Daumen

Ein klarer Beweis für die Rückrichtung:

Wg \(\frac{a_n-1}{a_n+1}=1-\frac2{a_n+1}\) folgt \(\lim\frac2{a_n+1}=1\), also \(\lim \frac1{a_n+1}=\frac12\), also \(\lim a_n+1 =2\), also \(\lim a_n=1\).

Avatar von 10 k

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