Bestimmen Sie hierbei, ob die Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie hierbei, ob die Reihe konvergiert

Endwert: unendlich

Startwert: 1

Formel: $(\frac{1}{10})$^i-1

Problem/Ansatz:

Laut Lösung konvergiert die Reihe mit dem Grenzwert $\frac{10}{9}$

Ich verstehe nicht, wie man auf die Lösung kommt

Wenn ich für i die Zahl 1 einsetze, komme ich auf $\frac{1}{100}$

Answer 1

Aloha :)

Wir tun erstmal so, als wäre die obere Grenze der Summe nicht $\infty$, sondern $n$. Wir werden dieses $n$ später gegen $\infty$ laufen lassen, um den Wert der gesuchten Summe zu bestimmen.

Wir betrachten also die folgende Summe:$$S_n=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^{i-1}$$

Für $i=1$ wird der Exponent $(i-1)$ zu $0$, für $i=2$ wird er zu $1$, für $i=3$ wird er zu $2$... Wir können daher die Summe bei $i=0$ beginnen lassen und dafür $(i-1)$ im Exponenten durch $i$ ersetzen:$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i$$

Nun überlegen wir uns, was passiert, wenn wir von dieser Summe $S_n$ ein Zehntel ihres Wertes subtrahieren. Diese Idee scheint zunächst schwachsinnig, aber du wirst gleich sehen, was dabei passiert:

$$S_n-\red{\frac{1}{10}\cdot S_n}=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i-\red{\frac{1}{10}\cdot\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i}=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i-\red{\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^{i+1}}$$

Nun machen wir bei der roten Summe eine ähnliche Indexverschiebung wie oben und lassen die Summe bei $i=1$ anstatt bei $i=0$ beginnen und den Exponenten $(i+1)$ ersetzen wir durch $i$:

$$S_n-\red{\frac{1}{10}\cdot S_n}=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i-\red{\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left(\frac{1}{10}\right)^i}$$$$\phantom{S_n-\red{\frac{1}{10}\cdot S_n}}=\left(\left(\frac{1}{10}\right)^0+\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i\right)-\red{\left(\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i+\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\right)}$$

Jetzt erkennst du, dass die bleiben verbliebenen Summen gleich sind und sich gegenseitig wegheben, übrig bleibt:$$S_n-\frac{1}{10}\cdot S_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}$$

Wenn wir links $S_n$ ausklammern, haben wir eine einfache Formel für $S_n$ gefunden:$$S_n\left(1-\frac{1}{10}\right)=1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}$$$$S_n=\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}}$$

Wenn wir nun $n\to\infty$ gehen lassen, wird im Zähler $\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}$ zu Null, übrig bleibt:$$S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}$$

Die Formel, die wir uns oben für die Summe über $\frac{1}{10}$ überlegt haben, gilt übrigens für jeden Wert $q\ne1$. Sie ist so wichtig, dass sie einen eingen Namen hat, nämlich "geometrische Reihe".$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\text{für }q\ne1$$

Für $|q|<1$ konvergiert die geometrische Reihe gegen $\frac{1}{1-q}$.

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung!

Ich hatte hier folgendes für n=1 gemacht:

$\frac{1}{10}$ ¹: $\frac{1}{10}$ ¹

Offenbar habe ich das Potenzgesetz hier falsch angewendet

Answer 2

1/100 ist nur der Summand für i=3. Du sollst ja alle von 1 ab summieren, das gibt das gleiche wie über $(\frac1{10})^i$ von 0 ab summiert ("Indexverschiebung"). Dann ist es als geometrische Reihe erkennbar, $\sum\limits_{i=0}^\infty a^i$, mit dem Grenzwert $\frac1{1-a}$, falls $|a|<1$.

Answer 3

Die Summe ist gleich der Laufstrecke (in Stadien) von Achilles bevor er die Schildkröte überholt.

Answer 4

a0= (1/10)^(1-1)= (1/10)⁰= 1, q= 1/10

Summe= 1/(1-1/10) = 1/(9/10) = 10/9

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe