Matrix A als Produkt von Einheitsmatrizen darstellen

Question

Aufgabe:

Ich soll die folgende Matrix A als Produkt von Elementarmatrizen darstellen

\( A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste man ja vollgendermaßen vorgehen:

Als erstes habe ich die Matrix auf Treppennormalform gebracht:

\( \begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right) \underset{A_{21}(-1)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right) \overrightarrow{A_{31}(-2)} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 1\end{array}\right) \\ \overrightarrow{A_{2}}(-1)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -4 & 1\end{array}\right) \underset{A_{12}(-2)}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -4 & 1\end{array}\right) \overrightarrow{A_{32}(4)}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right) \\ \overrightarrow{A_{3}}\left(-\frac{1}{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \overrightarrow{A_{3}(2)}\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) \overrightarrow{A_{13}(-1)}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) \\ \overrightarrow{A_{3}\left(\frac{1}{2}\right)}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \rightarrow 23(1)\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\\end{array} \)

Dann habe ich die Operationen auf die Einheitsmatrix angewendet:

Die Inversen dazu müssten dann ja wieder die Matrix A ergeben - dies scheint bei mir allerdings nicht zu funktionieren (ist mein Vorgehen so richtig, und wenn ja, wo liegt der Fehler)?

Comments

Wäre mein vorgehen so richtig ???????????????????

Answer 1

Nein, nicht ganz...

Du machst oben rechts die Null kaputt, das hab ich ausgelassen und komme auf

\(P \cdot A = id \to A = P^{-1}\)

\(\scriptsize P \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac{-1}{3}\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&4&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \)

jetzt allerdings

\(\scriptsize P^{-1} \, :=  \, \ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&-4&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)  \)

Siehst Du den Unterschied?

Ach, außer dem multiplizierst Du von der flaschen Seite!

Comments

Vielen Dank für deine Antwort und die Erklärung zu meinem Fehler