Vollständige Induktion

Question

Beweisen sie 2^n > n² mit vollständiger Induktion für n = 1 oder n>4

Answer 1

Vollständige Induktion: 2^n > n^2 für n = 1 oder n > 4

Wir zeigen das es für 1 und 5 gilt.

2^n > n^2
2^1 > 1^2
2 > 1

2^n > n^2
2^5 > 5^2
32 > 25

Wir zeigen das es für n + 1 gilt, wenn es für n gilt.

2^{n + 1} > (n + 1)^2
2·2^n > n^2 + 2·n + 1

Wenn 2^n > n^2 darf ich 2^n auf der linken Seite durch n^2 ersetzen

2·n^2 > n^2 + 2·n + 1
n^2 - 2·n - 1 > 0
n > 2.414213562