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Aufgabe:

a) Sei \( \varepsilon>0 \) beliebig, aber fest. Finden Sie eine Überdeckung \( \left(I_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) der rationalen Zahlen Q durch kompakte Intervalle \( I_{i} \) mit nichtleerem Inneren (also \( I_{i}=\left[a_{i}, b_{i}\right] \) mit \( a_{i}<b_{i} \) ), so dass
\( \sum \limits_{i=1}^{\infty}\left|I_{i}\right| \leq \varepsilon . \)
b) Zeigen Sie, dass Q eine Nullmenge bezüglich des eindimensionalen Lebesgue-Maßes \( \mathcal{L}^{1} \) ist.


Problem/Ansatz:

Dazu, wie man a) zeigen soll, habe ich leider keine Idee. Zu b) hätte ich mir allerdings folgendes gedacht:

Sei \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Abzählung der fraglichen Menge, wobei ohne Einschränkung die \( x_{k} \) paarweise verschieden seien. Dann zeigt man, daß für jedes \( x \in \mathbb{R}^{n} \) gilt \( \lambda(\{x\})=0 \), denn aus der \( \sigma \)-Additivität von \( \lambda \) folgt dann \( \lambda\left(\bigcup_{k \in \mathbb{N}}\left\{x_{k}\right\}\right)=\sum \limits_{k \in \mathbb{N}} \lambda\left(\left\{x_{k}\right\}\right)=0 \).

Sei also \( x \in \mathbb{R}^{n} \). Dann gilt \( \{x\} \subset[x, y) \) für jedes \( y \), dessen Koordinaten je größer sind als die von \( x \). Insbesondere können wir \( y=x+(\epsilon, \ldots, \epsilon) \) wählen und erhalten so
\( \lambda(\{x\}) \leq \lambda([x, y))=\epsilon^{d}, \)
und da \( \epsilon>0 \) beliebig war, folgt dass jede abzählbare Teilmenge des \( ℝ^{n} \) eine Lebesgue-Nullmenge ist und ℚ ist doch solch eine abzählbare Teilmenge?


Wie könnte man also a) zeigen und ist meine Ausführung bezüglich b) richtig?

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Tipp zu a:

Sei \(x_1,x_2,...\) eine Abzählung von \(\mathbb{Q}\).

Betrachte die Intervalle

\(I_i=[x_i-\frac{\epsilon}{2^{i+2}}, x_i+\frac{\epsilon}{2^{i+2}}]\).

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@ermanus:

Kannst du einem Laien bitte erklären, was diese Überdeckung meint und wo sie eine Rolle spielt?

Oder wäre das zu komplex?

Solche Überdeckungen werden in der Maßtheorie
verwendet, um zu zeigen, dass eine abzählbare Menge
- wie hier die rationalen Zahlen - das Lebesguemaß 0 haben.

Danke, ich verstehe aber nur Bahnhof mit meiner Schulmathe.

Quod quidem erat timendum. :)

PS:

Hat das irgendeine praktische Bedeutung bzw. einen Anwendungsbereich?

"Praktisch" bedeutet das z.B., dass man eine Funktion

in abzählbar vielen Punkten beliebig abändern darf,

ohne dass sich ihr Integral ändert.

Interessant. Danke, Dipl.-Math. !

Vermutlich bist du auch promoviert.

Wenn ja, worüber hast du dich einst "ausgelassen"?

@ermanus

Vielen Dank für deinen Tipp zu a) - werde ich gleich mal  versuchen, ob ich dass mit den Intervallen hinbekomme!

Kann ich also meine Argumentation bei b) so verwenden?

LG

@ggT: Ich bin Algebraiker und habe mit dem Thema

"Wittringe quadratischer Formen bei unendlich vielen Idempotenten"

promoviert.

@Euler07:

Formal wohl noch verbesserungsfähig, aber prinzipiell OK.

Wahnsinn! Bewundernswert, sich mit so einer Materie zu beschäftigen.

Eher brächte ich 100 Distichen zustande als diese Materie zu verstehen.

Ich google erst gar nicht.

Bei Idempotent denkt der Mann an etwas anderes: eiusdem potentiae esse ac

alii (potentissimi)  :))

Besser idempotent als impotent,

sonst hat sich schnell ausgepennt.

Weil keine mehr dein Haus für guten S. einrennt,

sondern ihr Heil bei andern sucht,

dessen Potenz ist eine wahre Wucht. :)

Dann kennst du sicher die schöne Parodie

http://www.erlangerliste.de/parodie/claudius.html

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