Aufgabe:
a) Sei \( \varepsilon>0 \) beliebig, aber fest. Finden Sie eine Überdeckung \( \left(I_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) der rationalen Zahlen Q durch kompakte Intervalle \( I_{i} \) mit nichtleerem Inneren (also \( I_{i}=\left[a_{i}, b_{i}\right] \) mit \( a_{i}<b_{i} \) ), so dass
\( \sum \limits_{i=1}^{\infty}\left|I_{i}\right| \leq \varepsilon . \)
b) Zeigen Sie, dass Q eine Nullmenge bezüglich des eindimensionalen Lebesgue-Maßes \( \mathcal{L}^{1} \) ist.
Problem/Ansatz:
Dazu, wie man a) zeigen soll, habe ich leider keine Idee. Zu b) hätte ich mir allerdings folgendes gedacht:
Sei \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Abzählung der fraglichen Menge, wobei ohne Einschränkung die \( x_{k} \) paarweise verschieden seien. Dann zeigt man, daß für jedes \( x \in \mathbb{R}^{n} \) gilt \( \lambda(\{x\})=0 \), denn aus der \( \sigma \)-Additivität von \( \lambda \) folgt dann \( \lambda\left(\bigcup_{k \in \mathbb{N}}\left\{x_{k}\right\}\right)=\sum \limits_{k \in \mathbb{N}} \lambda\left(\left\{x_{k}\right\}\right)=0 \).
Sei also \( x \in \mathbb{R}^{n} \). Dann gilt \( \{x\} \subset[x, y) \) für jedes \( y \), dessen Koordinaten je größer sind als die von \( x \). Insbesondere können wir \( y=x+(\epsilon, \ldots, \epsilon) \) wählen und erhalten so
\( \lambda(\{x\}) \leq \lambda([x, y))=\epsilon^{d}, \)
und da \( \epsilon>0 \) beliebig war, folgt dass jede abzählbare Teilmenge des \( ℝ^{n} \) eine Lebesgue-Nullmenge ist und ℚ ist doch solch eine abzählbare Teilmenge?
Wie könnte man also a) zeigen und ist meine Ausführung bezüglich b) richtig?
