Berechnung des q-Werts

Question

Aufgabe:

Für welche q ist die Gerade y = x - q eine Tangente an die Parabel y = qx² - qx + 1

Problem/Ansatz:

Leider kann ich diese Übung nicht berechnen. Ich verstehe sie nicht.

Answer 1

Eine Gerade t(x) ist Tangente an eine Funktion f(x), wenn für eine Stelle x gilt

f'(x) = t'(x) und
f(x) = t(x)

Es muss bei dir also gelten

f(x) = t(x)
q·x^2 - q·x + 1 = x - q

f'(x) = t'(x)
2·q·x - q = 1

Löse jetzt das entstehende Gleichungssystem

x = 0 ∧ q = -1 oder x = 2 ∧ q = 1/3

Answer 2

Eine Gerade ist genau dann Tangente an einer Parabel, wenn Gerade und Tangente einen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

Gemeinsame Punkte berechnet man indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung löst.

Die Gleichung

        x - q = qx² - qx + 1

Ist eine quadratische Gleichung. Eine quadratische Gleichung hat genau dann eine einzige Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist.

Bestimme also, für welches q die Diskriminante der obigen Gleichung 0 ist.

Answer 3

y= x-q hat die Steigung m= 1

f(q) = qx^2-qx-1

Es muss gelten:

f '(q) = 1

2qx-q= 1

q(2x-1) = 1

q= 1/(2x-1)

Comments

Welche q lösen also die Aufgabe?

Answer 4

\(y = x - q\)

\(y = q\cdot x^2 - q\cdot x + 1\)

\( q\cdot x^2 - q\cdot x + 1= x - q    |:q\)

\(  x^2 - x + \frac{1}{q}= \frac{1}{q}\cdot x - 1    |-\frac{1}{q}\cdot x\)

\(  x^2 - x + \frac{1}{q}-\frac{1}{q}\cdot x= - 1     |-\frac{1}{q}\)

\(  x^2 - x -\frac{1}{q}\cdot x= - 1  -\frac{1}{q}\)

\(  x^2 - x \cdot (1+\frac{1}{q}) = - 1  -\frac{1}{q}\)

\(  [x - (\frac{1}{2}+\frac{1}{2q})]^2 = - 1  -\frac{1}{q} +(\frac{1}{2}+\frac{1}{2q})^2  |\sqrt{~~}\)

\(  x - (\frac{1}{2}+\frac{1}{2q})=\sqrt{- 1  -\frac{1}{q} +(\frac{1}{2}+\frac{1}{2q})^2}\)

Eine Tangente liegt dann vor, wenn  \(-1-\frac{1}{q}+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2q})^2=0\) ist.

Löse nun nach \(q\) auf.