Berechne die Polarstellung

Question

Aufgabe:

Berechne die Polarstellung:

\( \varphi \in]-\pi, \pi] \) für \( z=3 \sqrt{3}+3 i \) :

Problem/Ansatz:

Was ändert sich wenn phi von 0 bis 2Pi geht?

Comments

Schau dir mal Real- und Imaginärteil deiner komplexen Zahl an:
\(z=x+y\cdot i = 3\sqrt 3 + 3\cdot i\)

\(\Rightarrow x= 3\sqrt 3,\; y= 3\)

Damit liegt \(z\) im 1. Quadranten der komplexen Zahlenebene. Das bedeutet \(\varphi \in \left(0,\frac{\pi}2\right)\).

Also ändert sich für \(z\) gar nichts, wenn \(\varphi\) von 0 bis \(2\pi\) geht.

Answer 1

Aloha :)

Der Realteil beträgt \(3\sqrt3\) und wird auf der x-Achse aufgetragen. Der Imaginärteil beträgt \(3\) und wird auf der y-Achse aufgetragen. Der Punkt hat also die Koordinaten \(Z(3\sqrt3\big|3)\) und liegt im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

Der Abstand dieses Punktes vom Ursprung ist:$$r=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6$$

Für den Polarwinkel \(\varphi\) zwischen der Strecke \(r\) mit der x-Achse gilt:$$\cos\varphi=\frac{x}{r}=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\implies\quad\varphi=\arccos\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac\pi6$$

Die Polardarstellung lautet daher:$$z=3\sqrt3+3i=6\cdot e^{i\,\frac\pi6}$$

Wenn sich das Polarwinkel-Intervall von \([-\pi|\pi]\) zu \([0|2\pi]\) ändert, müssen wir den Polarwinkel \(\varphi=\frac\pi6\) nicht umrechnen, denn er liegt ja in beiden Intervallen.

Answer 2

Grundlagen zu komplexen Zahlen unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

r = √((3·√3)^2 + (3)^2) = 6

φ = ARCTAN((3)/(3·√3)) = pi/6

Also ist

3·√3 + 3·i = 6·e^{i·pi/6}