Bestimmen Sie die Eigenräume E_{3} und E_{-1} .

Question

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Betrachten Sie die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right) \) und die zugehörige lineare Abbildung \( T_{A}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \). Die Eigenwerte von \( T_{A} \) lauten (ohne Beweis) \( \lambda_{1}=3 \) und \( \lambda_{2}=-1 \). Bestimmen Sie die Eigenräume \( E_{3} \) und \( E_{-1} \).e).

Comments

Wie habt Ihr denn "Eigenraum" definiert?

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Ein von Null verschiedener Vektor v ∈ V heißt Eigenvektor von ϕ,
wenn ϕ(v) Vielfaches von v ist, wenn also
ϕ(v) = λv
für ein λ ∈ R. Den Faktor λ nennen wir Eigenwert von ϕ

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Der Eigenraum ist die Menge der zu einem EW gehörenden Eigenvektoren zuzüglich des NullVektors. Also löse das lineare Gleichungssystem

$$(A-\lambda E)v=0$$

Zum Bespiel für lambda=3...

Answer 1

Aloha :)

1) Für den Eigenraum \(E_3\) von \(\pink{\lambda=3}\) löse das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rr|c|l}x & y & = & \text{Aktion}\\\hline1-\pink{\lambda} & 2 & 0 &\lambda \text{ einetzen}\\2 & 1-\pink{\lambda} & 0 &\lambda \text{ einetzen}\\\hline-2 & 2 & 0 &\div 2\\2 & -2 & 0 & +\text{Zeile 1}\\\hline-1 & 1 & 0 & \Rightarrow -x+y=0\\0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0\cdot x+0\cdot y=0\quad\checkmark\end{array}$$Als Bedingung an die Lösungen erhalten wir \((-x+y=0)\) bzw. \((y=x)\).

Damit können wir alle Lösungsvektoren (also den Eigenraum \(E_3\)) angeben:$$E_3\colon\binom{x}{y}=\binom{x}{x}=x\cdot\binom{1}{1}\quad;\quad x\in\mathbb R$$Der Eigenvektor \(\binom{1}{1}\) ist eine Basis des Eigenraums \(E_3\).

2) Für den Eigenraum \(E_{-1}\) von \(\pink{\lambda=-1}\) löse das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rr|c|l}x & y & = & \text{Aktion}\\\hline1-\pink{\lambda} & 2 & 0 &\lambda \text{ einetzen}\\2 & 1-\pink{\lambda} & 0 &\lambda \text{ einetzen}\\\hline2 & 2 & 0 &\div 2\\2 & 2 & 0 & -\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & 0 & \Rightarrow x+y=0\\0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0\cdot x+0\cdot y=0\quad\checkmark\end{array}$$Als Bedingung an die Lösungen erhalten wir \((x+y=0)\) bzw. \((y=-x)\).

Damit können wir alle Lösungsvektoren (also den Eigenraum \(E_{-1}\)) angeben:$$E_{-1}\colon\binom{x}{y}=\binom{x}{-x}=x\cdot\binom{1}{-1}\quad;\quad x\in\mathbb R$$Der Eigenvektor \(\binom{1}{-1}\) ist eine Basis des Eigenraums \(E_{-1}\).