Aloha :)
Wir betrachten das Gleichungssystem$$1)\quad x_1+x_2+x_3=4$$$$2)\quad x_1+x_2=1$$
Gleichung 1 enthält 3 Variablen. Von diesen kannst du 2 Variablen völlig frei wählen, danach ist die dritte Variable durch die Gleichung festgelegt. Man sagt, Gleichung 1 hat 2 "Freiheitsgrade" oder auch 2 "Dimensionen". Gleichung 1 beschreibt daher ein 2-dimensionales Objekt (Fläche)
Gleichung 2 enthält nur 2 Variablen. Von dieser kannst du eine völlig frei wählen und die andere ist danach durch die Gleichung eindeutig bestimmt. Folglich hat Gleichung 2 nur einen Freiheitsgard und nur 1 Dimension. Gleichung 2 beschreibt also ein 1-dimensionales Objekt (Gerade).
Im Gesamtzusammenhang sollst du aber ein Gleichungssystem lösen. In diesem Gleichungssystem kommen 3 verschiedene Variablen vor. Wenn du nun die zweite Gleichung um die fehlende Variable \(x_3\) ergänzt:$$2)\quad x_1+x_2+0\cdot x_3=1$$wird aus der Geraden eine Fläche. Du kannst nämlich nun 2 Variablen frei wählen, von denen eine \(x_3\) sein muss, und die dritte Variable ist dann durch die Gleichung festgelegt. Durch das Hinzufügen von \(x_3\) kommt ein zweiter Freiheitsgard hinzu, der die Gerade zu einer Fläche aufzieht.
Die Schnittgerade der beiden Ebenen kannst du dann sofort angeben. (2) in (1) eingesetzt liefert \(x_3=3\). Gleichung (2) liefert \(x_2=1-x_1\). Die Schnittgerade ist also:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\1-x_1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$