Ist x1 + x2 = 1 eine Gerade oder eine Ebene?

Question

Aufgabe:

Ist x₁ + x₂ = 1 eine Gerade oder eine Ebene?

Problem/Ansatz:

Hallo, in meinem Skript habe ich folgendes LGS gegeben:

1) x₁ + x₂ + x₃ = 4

2) x₁ + x₂ = 1

Dabei steht, dass das LGS geometrisch als Durschnitt zweier Ebenen interpretiert werden kann.

Ich verstehe nicht, wie 2) eine Ebene sein kann? Ich könnte ja einfach nach x₁ oder x₂ umstellen und hätte eine normale Geradengleichung

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten das Gleichungssystem$$1)\quad x_1+x_2+x_3=4$$$$2)\quad x_1+x_2=1$$

Gleichung 1 enthält 3 Variablen. Von diesen kannst du 2 Variablen völlig frei wählen, danach ist die dritte Variable durch die Gleichung festgelegt. Man sagt, Gleichung 1 hat 2 "Freiheitsgrade" oder auch 2 "Dimensionen". Gleichung 1 beschreibt daher ein 2-dimensionales Objekt (Fläche)

Gleichung 2 enthält nur 2 Variablen. Von dieser kannst du eine völlig frei wählen und die andere ist danach durch die Gleichung eindeutig bestimmt. Folglich hat Gleichung 2 nur einen Freiheitsgard und nur 1 Dimension. Gleichung 2 beschreibt also ein 1-dimensionales Objekt (Gerade).

Im Gesamtzusammenhang sollst du aber ein Gleichungssystem lösen. In diesem Gleichungssystem kommen 3 verschiedene Variablen vor. Wenn du nun die zweite Gleichung um die fehlende Variable \(x_3\) ergänzt:$$2)\quad x_1+x_2+0\cdot x_3=1$$wird aus der Geraden eine Fläche. Du kannst nämlich nun 2 Variablen frei wählen, von denen eine \(x_3\) sein muss, und die dritte Variable ist dann durch die Gleichung festgelegt. Durch das Hinzufügen von \(x_3\) kommt ein zweiter Freiheitsgard hinzu, der die Gerade zu einer Fläche aufzieht.

Die Schnittgerade der beiden Ebenen kannst du dann sofort angeben. (2) in (1) eingesetzt liefert \(x_3=3\). Gleichung (2) liefert \(x_2=1-x_1\). Die Schnittgerade ist also:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\1-x_1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

Im zweidimensionalen Koordinatensystem ist das die Gleichung einer Geraden.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem ist das die Gleichung einer Ebene.

Der Schnitt zweier nicht identischer Ebenen ist entweder leer oder eine Gerade.

Normalenform von Ebene 2) \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) = 1

Comments

Wie würde man dann die Gleichung einer Gerade im dreidimensionalen Raum darstellen?

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\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)+r·\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) mit reellen Zahlen a, b, c, u, v, w.

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Tut mir leid, ich verstehe noch immer nicht ganz wie ich die Koordinatengleichung einer Geraden im 3D Raum von einer Koordinatengleichung einer Ebene im 3D Raum unterscheide.

Wie gesagt wurde im Skript ja x1 + x2 = 1 als Ebene im 3D Raum beschrieben.

Dann wurde das Gleichungssystem gelöst und das Ergebnis x2 -x3 = -2 wird als Gerade im 3D Raum bezeichnet.

Wie unterscheiden sich x1 + x2 = 1 und x2 -x3 = -2 dass das eine eine Ebene ist und das andere eine Gerade?

Rein logisch verstehe ich das vollkommen, dass eine Gerade entsteht wenn sich zwei Ebenen schneiden. Aber es muss doch einen mathematischen Unterschied geben, den man durch Anschauen der Zahlen sieht

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"Der Schnitt zweier Ebenen ist entweder leer oder eine Gerade"

.... oder eine Ebene  (falls die gegebenen Ebenen identisch waren)

"Aber es muss doch einen mathematischen Unterschied geben, den man durch Anschauen der Zahlen sieht"

Zu einer Aufgabenstellung der analytischen Geometrie gehört, dass man angibt, in welchem Raum (2D oder 3D oder ...) sich das Ganze abspielen soll. Den "nackten" Gleichungen allein kann man dies nämlich nicht ansehen.

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Alles klar, vielen Dank!

Answer 3

x + y = 1 kannst du natürlich als Gerade in der Ebene z = 0 interpretieren. Diese Gerade gibt es allerdings auch für jedes andere z ≠ 0. Und das lässt sich dann als Ebene interpretieren.