Matrizengleichung nach X auflösen?

Question

Wie löse ich die folgenden Matrizengleichung nach X auf? Alle Matrizen sind regulär vorausgesetzt und quadratisch. BX^T A^T + (AXB)^T = E - A^T (E=Einheitsmatrix) Ich habe bereits mehrere Versuche vorgenommen, komme aber nicht auf die angegebene Lösung: X = A^-1(B+B^T)^-1-(B+B^T) Danke für Eure Hilfe! :)

Answer 1

B X^T A^T + (A X B)^T = E - A^T

B X^T A^T + B^T X^T A^T = E - A^T

B^T X A + B X A = E - A

B^T X A A^{-1} + B X A A^{-1} = E A^{-1} - A A^{-1}

B^T X + B X = A^{-1} - E

(B^T + B) X = A^{-1} - E

(B^T + B)^(-1) (B^T + B) X = (B^T + B)^(-1) A^{-1} - (B^T + B)^-1 E

X = (B^T + B)^(-1) A^{-1} - (B^T + B)^(-1)

Ich komme nur so in etwa auf die Lösung. Schau mal durch wo ich da einen Fehler gemacht habe.

Comments

Finde in deinem Rechenweg soweit keine Fehler. Vielleicht ist die Lösung von meinem Prof. falsch...

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Deine Lösung ist falsch.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Ich habe folgendes anzubieten:

B X^T A^T + ( A X B ) ^T = E - A ^T

B X^T A^T + B ^T X^T A^T = E - A ^T

( B + B ^T ) X^T A^T  = E - A ^T

X^T A^T  = ( B + B ^T ) ^-1 ( E - A ^T) = ( B + B ^T ) ^-1 - ( B + B ^T ) ^-1 A ^T

X^T = ( B + B ^T ) ^-1 ( A ^T ) ^-1 - ( B + B ^T ) ^-1

X = ( ( B + B ^T ) ^-1 ( A ^T ) ^-1 - ( B + B ^T ) ^-1 ) ^T

X = ( ( B + B ^T ) ^-1 ( A ^T ) ^-1 ) ^T - ( ( B + B ^T ) ^-1 ) ^T

X = ( ( A ^T ) ^-1 ) ^T (  ( B + B ^T ) ^-1 ) ^T - ( ( B + B ^T ) ^T ) ^-1

X = ( ( A ^T ) ^T ) ^-1 (  ( B + B ^T ) ^T ) ^-1 - ( B + B ^T) ^-1

X = A ^-1 ( B + B ^T ) ^-1 - ( B + B ^T ) ^-1

X = ( A ^-1 - E )  ( B + B ^T ) ^-1

Der fett gesetzte Ausdruck entspricht beinahe der angegebenen Lösung ( bis auf den Exponenten - 1 am Ende).

In der drittletzten und zweitletzten Zeile habe ich verwendet:

( B + B ^T ) ^T = B ^T + ( B ^T) ^T = B ^T + B = B + B ^T