Wie bestimme ich mehrere Lösungen einer trigonometrischen / goniometrischen Gleichung?

Question

cos(4x) = 0

dafür bekomme ich wenn ich sage

4x = π/2

x=π/8

aber mein Taschenrechner gibt noch 3 weitere Lösungen an, wie kann ich die per Hand bestimmen?

Comments

Vielleicht hilft dieses kostenlose Video: https://www.matheretter.de/wiki/trigonometrische-gleichungen

Dann musst du noch 360° durch 2π ersetzen, wenn du Bogenmass brauchst.

Answer 1

Hi Martin,

berücksichtige den Verlauf des Cosinus und seine Periode.

cos(4x) ist π/2-periodisch und damit ergibt sich immer nach π/4 eine neue Nullstelle.


Das kann als

x = πn/4 + π/8
ausgedrückt werden.

Dein Taschenrechner gibt wohl alle Lösungen bis 2π an.


Grüße

Answer 2

COS(4·x) = 0

4·x = ARCCOS(0) = 2·pi·k ± pi/2

x = pi/2·k ± pi/8

Jetzt kannst du da für k beliebige ganze Zahlen einsetzen.

Wir erhalten die Lösungen ±pi/8 ; ±3/8·pi ; ±5/8·pi ; ±7/8·pi ; ±9/8·pi

Comments

Abend Mathecoach,


Mit

x = pi/2·k ± pi/8

kommst Du aber nicht auf alle Nullstellen.

 ±3/8·pi

etc wird nicht erreicht. Beachte, dass für jede halbe Periode eine Nullstelle existiert ;).


Grüße

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Hm. Kannst du nochmal genau erklären wo ich da den Denkfehler habe?  ich komme doch auf  ± 3/8 pi. Oder meinst du das das keine Nullstelle ist ?

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Sei k = 0

pi/8

Sei k = 1

pi/2+pi/8 = 4pi/8+pi/8 = 5pi/8

3pi/8 erreichst Du nicht ;).

Grüße

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Ähm dort steht 

pi/2·k ± pi/8

für jedes k gibt es also 2 Lösungen

pi/2·(1) - pi/8 = 3/8·pi

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Ah sry, mein Fehler :).

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Mein Problem ist, wie ich bei jeder trig. Gleichung auf die Formel komme: z.B pi/2*k

was ist k überhapt

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Naja. Überlegt dir erstmal wie du

cos(x) = a

nach x auflösen würdest. es kann hilfreich sein sich dazu die Cosinus-Funktion und eine Gerade durch y = a zu zeichnen. Jetzt überlegst du dir wo die Funktionen sich überall schneiden. Der Taschenrechner gibt dir in der Regel nur einen Wert zurück. Du musst also jetzt von dem einen Wert auf theoretisch unendlich viele andere Werte kommen. Es ist hilfreich, wenn man weiß das die Cosinus-Funktion Achsensymmetrisch ist und das die Cosinus-Funktion eine Periodenlänge von 2*pi hat.