Komplexe Funktion, beliebige Beträge und Argumente finden

Question

Aufgabe: Fur die jeweils gegebene Funktion f: C → C, finden Sie die Betraege und Argumente

von f(z), für zφ = cos φ + i sin φ  eine beliebige komplexe Zahl auf dem Einheitskeis.

a) f(z) = z − 1 

Problem/Ansatz:

Folgendes habe ich mir dazu überlegt:

Es wird ja die Information gegeben, dass die beliebige komplexe Zahl z auf dem Einheitskreis liegt, der ja bekanntlich Radius 1 hat, womit ja auch der Betrag der komplexen Zahl 1 sein sollte. Eine weitere Idee war das probieren mit verschiedenen Winkeln φ, wobei ich dann aber das Problem habe, dass ich nur 4 konkrete Werte für φ bestimmen kann (0,5pi;1pi;1,5pi;2pi), da bei allen anderen der Realteil und Imaginärteil nicht klar definiert ist.

Was wäre denn der richtige Ansatz bezüglich solchen Aufgaben?

Für alle Hinweise wäre ich sehr dankbar!

Comments

Ich verstehe die Aufgabe etwa so:
\(\lvert f(z)\rvert^2=\lvert z-1\rvert^2=(\cos\varphi-1+\mathrm i\sin\varphi)(\cos\varphi-1-\mathrm i\sin\varphi)=4\sin^2\frac\varphi2\).

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Wie kommst du auf die Idee "da bei allen anderen der Realteil und Imaginärteil nicht klar definiert ist." die sind für jeden Winkel eindeutig definiert

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Hi, erstmal danke für die Antworten

Bezüglich der Nachfrage, ich habe mir das so vorgestellt, dass a+b ( a Real, b Imaginär) ja so genutzt werden: I z I =  sqrt{a^2+b^2}. Wir wissen ja das der Betrag für z gleich 1 ist.

somit wissen wir das unter der Wurzel auch 1 stehen muss, den Wurzel aus 1 ist 1. ich kann aber nicht einfach annehmen das a bspw. 0,7 ist, denn was ist dann b ? Bei der Annahme, eine der beiden Variablen ist aber 1, ist die andere automatisch 0, da unter der Wurzel 1 rauskommen muss. Daher hab ich geschrieben, dass ich a und b nur für 4 Winkel definieren kann, dort wo a oder b 1 oder -1 ist.

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Für jeden Winkel a  gilt sin^2(α)+cos^2(α)=1 Pythagoras sagt das!

also kannst du für jeden Winkel a=cos(α), b=sin(α) nehmen.

Gruß lul

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Okay, aber wie kann ich den trigonometrischen Pythagoras im konkreten Fall anwenden ? Ich meine vor dem Sinus steht das i, wie kann ich dieses in der Rechnung interpretieren ? Oder kann ich es ignorieren und den Pythagoras einfach benutzen ?

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Beim Betrag spielt doch das i keine Rolle, nur wenn du z in der GaussschenEbene einzeichnes  ist i iny Richtung

lul

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Ach verdammt, das hab ich nicht bedacht :)

vielen Dank für die Erklärung, jetzt machts Sinn

Answer 1

Es wird ja die Information gegeben, dass die beliebige komplexe Zahl z auf dem Einheitskreis liegt, der ja bekanntlich Radius 1 hat, womit ja auch der Betrag der komplexen Zahl 1 sein sollte.

Das ist richtig.

Eine weitere Idee war das probieren mit verschiedenen Winkeln φ, wobei ich dann aber das Problem habe, dass ich nur 4 konkrete Werte für φ bestimmen kann (0,5pi;1pi;1,5pi;2pi), da bei allen anderen der Realteil und Imaginärteil nicht klar definiert ist.

Das ist nicht richtig, Für jeden Winkel φ ist der Realteil cos(φ) und der Imaginärteil sin(φ).