Bestimmen Sie a 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegebenen Inhalt …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie a > 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegebenen Inhalt A hat

f(x)=x^2

g(x)= a•x

A= 4/3

Answer 1

Löse die Gleichung ax=x².

Deine Ergebnisse?

Comments

a=x^2/x

ist das so richtig?

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Ich hätte sagen müssen: Löse die Gleichung nach x auf.

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jagut aber dann ist x= a

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Das ist eine von 2 möglichen Lösungen.

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und x=-a vielleicht?

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Zeichne in ein Koordinatensystem:

y=x² und y=ax (wenn a=1 ist, also y=1x).

Schneiden die sich wirklich nur bei x=1???

Zeichne in ein Koordinatensystem:
y=x² und y=ax (wenn a=2 ist, also y=2x).
Schneiden die sich wirklich nur bei x=2???

Zeichne in ein Koordinatensystem:
y=x² und y=ax (wenn a=3 ist, also y=3x).
Schneiden die sich wirklich nur bei x=3???

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bei 0 und a schneiden sie sich,

aber was nun

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bei 0 und a schneiden sie sich,

Richtig. Die beiden Funktionsgraphen schließen also im Intervall [0, a] eine Fläche vollständig ein. Dabei liegt die Funktion g(x)=ax "oben" und f(x) =x² "unten".

Die Fläche dazwischen wird somit durch den Term

\( \int\limits_{0}^{a} (ax-x^2)dx\) beschrieben.

Bekommst du es hin, eine Stammfunktion von \( (ax-x^2)\) zu bilden und den Wert dieser Stammfunktion an der Stelle a minus dem Wert dieser Stammfunktion an der Stelle 0 aufzuschreiben?

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ja also:

(-1/3a^3 +a/2 •a^2 -(-1/3•0^3 +a/2 •0^2))

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aber was dann?

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Dass der hintere Teil

-(-1/3•0^3 +a/2 •0^2))

nur 0 ergibt, sollt klar sein.

Kannst du die verbleibende Summe

-1/3•a³ +a/2 •a²

zu EINEM Term vereinfachen?

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-1/3a^3 + (a^3)/2

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und was mache ich dann?

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Kannst du (Bruchrechnung Klasse 5) auch noch -1/3 + 1/2 (bequemer ist die Form 1/2 - 1/3) ausrechnen?

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ahhh jtz habe ichs raus, vielen Dank für die Hilfe

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Prima. Der Flächeninhalt (für eine beliebige Gerade y=ax) lässt sich also mit A=a³/6 berechnen.

Wähle nun a so, dass a³/6 =4/3 ist.

Answer 2

Nullstellen der Differenzfunktion sind Schnittstellen der Graphen

d(x) = a·x - x^2 = 0 --> x = 0 ∨ x = a

Fläche ist das Integral

∫ (0 bis a) (a·x - x^2) dx = 4/3 --> a = 2

Skizze

Comments

wie kommt man auf die 2

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wie kommt man auf die 2

Löse die Gleichung

∫ (0 bis a) (a·x - x^2) dx = 4/3 

nach a auf. Berechne dazu im ersten Schritt die Stammfunktion und schreibe das Integral mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Dann löse die Gleichung nach a auf. Wenn du bei einem Schritt nicht weiter kommst, dann sag wo es klemmt.

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-1/3a^3 + (a^3)/2 = 4/3

wie jetzt?

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Fasse - 1/3·a^3 + a^3/2 weiter zusammen. Da kommt in beiden Summanden a^3 drin vor.