Term mit Additionstheoremen vereinfachen

Question

Aufgabe:

Ich stehe auf dem Schlauch.

Es soll der Term \( \frac{sinα+sinβ}{sin(α+β)} \) vereinfacht werden.

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Additionstheoreme anwende, komme ich auf

\( \frac{2 sin (α+β)/2 · cos (α+β)/2}{sin α cos β + cos α sin β} \)

Weiter komme ich bei der Vereinfachung nicht, es soll aber rauskommen \( \frac{cos (α-β)/2}{cos (α+β)/2} \)

Comments

Benutze a = (a+b)/2 + (a-b)/2  , b = (a+b)/2 - (a-b)/2  , a+b = (a+b)/2 + (a+b)/2 und dann die einschlägigen Additionstheoreme.

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Wie kommt man auf diesen Ansatz?

Welches Grundwissen ist anzuwenden?

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Faktorisieren / Distributivgesetz

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Da es viele Möglichkeiten gibt, den vorgelegten Term umzuformen (eine davon hat der Fragesteller vorgeführt), muss man sich ansehen, wohin die Reise denn gehen soll. Und da der Zielterm nur Ausdrücke der Form (a+b)/2 und (a-b)/2 enthält, ist es vielversprechend, a und b aus dem Ausgangsterm in der von mir gezeigten Weise zu ersetzen. Dass das dann tatsächlich funktioniert habe ich vor der Veröffentlichung selbstverständlich geprüft.

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Da es viele Möglichkeiten gibt, den vorgelegten Term umzuformen

Wieviele?

muss man sich ansehen, wohin die Reise denn gehen soll.

Was heißt das konkret?

Wie kommt der Unerfahrene darauf?

Wozu nützen solche Spielereien, wann braucht man sie?

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Wieviele?
Überabzählbar viele, z.B. Anwenden eines Additionstheorems auf a = (a+e^2) - e^2

Wie kommt der Unerfahrene darauf?
Durch durch Probieren gewonnene Erfahrung (ein Weg, der durchaus auch mit Sackgassen und Rückschlägen gepflastert ist)

 

Wozu nützen solche Spielereien, wann braucht man sie?
Um Erfahrungen zu sammeln

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Um Erfahrungen zu sammeln

Stimmt, an dieses unschlagbare Argument habe ich nicht gedacht.

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bob_43, arbeite vorwärts (wie du schon begonnen hast) und zusätzlich rückwärts, beginnend mit \( \frac{cos (α-β)/2}{cos (α+β)/2} \).

ggT22, helfen deine Nachfragen dir oder dem FS?

Answer 1

Aloha :)

Ich bin zeitlich etwas angespannt, möchte dich aber mit deinem Problem nicht alleine lassen. Daher hier nur ganz kurz ein möglicher Rechenweg.

Umformung des Zählers

Wir gehen von den beiden Additionstheoremen aus$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x$$$$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\sin y\cos x$$und addieren sie:$$\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y$$

Nun setzen wir \((\red{x\coloneqq\frac{a+b}{2}})\) und \((\green{y\coloneqq\frac{a-b}{2}})\) ein:$$\sin\left(\red{\frac{a+b}{2}}+\green{\frac{a-b}{2}}\right)+\sin\left(\red{\frac{a+b}{2}}-\green{\frac{a-b}{2}}\right)=2\sin\left(\red{\frac{a+b}{2}}\right)\cos\left(\green{\frac{a-b}{2}}\right)\implies$$$$\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Umformung des Nenners

Wieder mit den Additionstheormen von oben gilt:

$$\sin(a+b)=\sin\left(\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}\right)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

Zusammenfassung zum Bruch

$$\frac{\sin(a)+\sin(b)}{\sin(a+b)}=\frac{2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)}=\frac{\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)}$$